Использование метода наименьших квадратов

В качестве простого примера построения модели методом наименьших квадратов рассмотрим задачу восстановления математического описания некоторого процесса по результатам эксперимента.

Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка

W = a₀ + a₁x + a₂x², 0 £ x £ 6.

Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой e, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией
М(e) = 0, s²(e) = 1.

Выборка десяти случайных пар () представлена в табл. 3.1 в графах 2 и 3.

Таблица 3.1

№	x		Wm	e
	4,8608 4,2396 2,7792 0,5988 3,2136 4,5156 5,9340 1,5852 4,4880 4,0932	9,28 9,40 7,88 1,86 7,77 8,73 8,33 5,16 7,28 9,22	8,848 8,821 7,460 2,039 8,056 8,874 8,118 4,994 8,872 8,767	0,432 0,579 0,420 -0,179 -0,286 -0,144 0,212 0,166 -1,592 0,453

Метод наименьших квадратов заключается в том, что неизвестные (искомые) коэффициенты а₀ , а₁ , а₂ должны минимизировать функцию, представляющую собой сумму квадратов невязок e_j:

.

Минимум некоторой функции, как известно, находится в точке , где все частные производные этой функции по переменным а₀, а₁, а₂равны нулю.

Для определения частных производных, распишем функцию G через ее предполагаемый вид:

.

Возьмем от функции G производные по а₀, а₁, а₂ :

;

;

.

Приравняв эти выражения к нулю и произведя некоторые преобразования, получим систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка с тремя неизвестными, коэффициенты которой вычисляются по известным данным из табл. 3.1:

Решая полученную систему, получим а₀ = –0,161; а₁ = 3,929; а₂ = –0,427.

Таким образом, математическая модель будет иметь вид

Wm = –0,161 + 3,929 x –0,427x². (3.2)

Проверим адекватность модели методом Фишера. Для этого заполним четвертый и пятый столбцы таблицы 3.1, подставляя в математическую модель (3.2) и затем в формулу (3.1) значения x_j из первого столбца.

Определим число степеней свободы системы по формуле

f_s = n – m – 1,

где n = 10 – количество экспериментальных точек; m = 3 – количество неизвестных коэффициентов. То есть f_s = 6.

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле

.

Критерий Фишера вычисляется по формуле

.

По статистическим таблицам при 5%-м уровне риска (a = 0,05) находим пороговое значение критерия Фишера

.

Так как полученное значение F меньше критического (порогового), гипотеза об адекватности модели реальному процессу принимается.