ни одна конъюнкция не содержит одновременно переменную и отрицание этой переменной;
каждая конъюнкция содержит все переменные, входящие в формулу, т. е. имеет вид
,
где дизъюнкция берется по всем наборам с=(с1, с2, …, сn) из 0 и 1, для которых F(c)=1.
Теорема (о СДНФ). Для всякой не равной тождественному нулю формулы логики высказываний F(x1, x2, …, xn) существует такая формула F1, зависящая от того же списка переменных и находящаяся в СДНФ относительно этого списка, что F1 выражает собой формулу F. Формула F1 определена однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.
ни одна дизъюнкция не содержит переменную вместе с отрицанием этой переменной;
каждая дизъюнкция содержит все переменные, входящие в исходную формулу, т. е. имеет вид
,
где конъюнкция берется по всем наборам с=(с1, с2, …, сn) из 0 и 1, для которых F(c)=0.
Теорема (о СКНФ). Для всякой не равной тождественной единице формулы логики высказываний F(x1, x2, …, xn) существует такая формула F1, зависящая от того же списка переменных и находящаяся в СКНФ относительно этого списка, что F1 выражает собой формулу F. Формула F1 определена однозначно с точностью до перестановки конъюнктивных членов.
Опишем два способа приведения к совершенным нормальным формам.
1-й способ – аналитический.
привести формулу с помощью равносильных преобразований к ДНФ.
удалить члены дизъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если такие окажутся);
из одинаковых членов дизъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;
из одинаковых членов каждой конъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;
если в какой-нибудь конъюнкции не содержится переменной xi из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой конъюнкции член и применить закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции;
если в полученной дизъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием из п. 3.
Полученная формула и является СДНФ данной формулы.
Пример 27.
Привести следующие формулы к СДНФ с помощью равносильных преобразований: