Совместными событиями называются такие случайные события, появление которых не исключает появление других событий.
Совместные события бывают зависимыми и независимыми. События называют независимыми, если появление одних не меняет вероятности наступления других событий. В противном случает события называются зависимыми.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных независимых событий А или В (или А, или В, или А и В вместе) вычисляется по формуле:
.
Пример 1. Две фирмы готовят к выставке по одной новой модели автомобиля. Вероятность успешной подготовки модели первой фирмой равна 0,9, а второй — 0,7. С какой вероятностью на рынке появится (хотя бы одна) новая модель?
Решение. События (появление новых моделей) совместны и независимы. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных независимых событий находится по формуле:
.
Задача 1. Вероятность, что предприниматель заключит контракт: в городе А — 0,9, в городе В — 0,8. Чему равняется вероятность, что предприниматель заключит контракт хотя бы в одном из этих городов?
Ответ: 0,9 + 0,8 – 0,9 · 0,8 = 0,998.
Для вычисления вероятности появления хотя бы одного из нескольких совместных независимых событий А1, А2, …, Аn (могут наступать либо все события, либо часть из них) используют формулу:
.
Пример 2. Три охотника стреляют в цель. Вероятность попадания каждого — Р(А) = 0,7. С какой вероятностью в цель попадет хотя бы один охотник?
Решение. Используем противоположное событие: охотник не попадет в цель Р(неА) = 1 – 0,7. Три охотника не попадут в цель с вероятностью Р = (1 – 0,7) · (1 – 0,7) · (1 – 0,7). Следовательно, хотя бы один из охотников попадет в цель с вероятностью
.
Задача 2. Консультационная фирма рассылает предложения своим клиентам. По оценке руководства, фирма не получит ни одного ответа с вероятностью 0,3. С какой вероятностью фирма получит ответ хотя бы от одного клиента?
Ответ: Р(А) = 1 – 0,3 = 0,7.
Вероятность появления двух совместных независимых событий, когда должно произойти и событие А, и событие В, вычисляется по формуле:
.
Пример 3. Бросают две игральные кости. Найти вероятность, что выпадут две «шестерки».
Решение. Выпадение «шестерок» — независимые события. Вероятность, что выпадет одна «шестерка» на любой из костей Р(А) = Р(В) = 1/6. Вероятность совместного появления двух независимых событий Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 1/6 · 1/6 = 1/36.
Задача 3. Опрос молодежи, покупающей аудиокомпакт-диски, показал, что 10% приобретают диски группы «АВВА», 15% берут диски группы «ВАВА». С какой вероятностью случайный молодой человек приобретет диски обеих групп?
Ответ: 0,1 · 0,15 = 0,015.
Вопросы
1. Какие события называются совместными и несовместными, зависимыми и независимыми?
2. Назовите примеры полной группы событий. Какие события называются противоположными? Как вычислить вероятность противоположного события?
3. Как вычислить вероятность появления двух совместных независимых событий: и события А, и события В?
4. Как вычислить вероятность появления хотя бы одного из двух совместных независимых событий А или В?
1.3 Законы распределения случайной величины. ДЕ-1.3, 2.10/2.03, 04, 3.04
Одним из важнейших понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Случайная величина — это переменная, которая в результате испытания случайным образом принимает одно из своих возможных значений. Случайная величина бывает или дискретной, или непрерывной. Значения дискретной случайной величины можно представить в виде отдельных точек на числовой оси. Непрерывная случайная величина принимает возможные значения из конечного или бесконечного интервала.
Случайная величина характеризуется законом распределения. Закон распределения ставит в соответствие значениям случайной величины вероятность их появления.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде таблицы:
хi
x1
x2
x3
...
xn
pi
p1
p2
p3
...
pn
где хi — возможные значения случайной величины Х;
pi — соответствующие им вероятности.
При этом должно выполняться следующее равенство:
p1 + p2 + ... + pn = 1,
которое называют условием нормировки.
Графическое представление закона распределения называют многоугольником (полигоном) распределения.
Многоугольник распределения лежит в верхней полуплоскости, так как все pi ³ 0.
Закон распределения позволяет вычислить основные характеристики случайной величины: математическое ожидание среднего значения (обычно говорят просто «математическое ожидание»):
,
и стандартное отклонение:
.
Пример 1. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение для закона распределения, заданного в виде таблицы:
xi
pi
0,2
0,3
0,4
0,1
1,0
Решение. Определим математическое ожидание и стандартное отклонение:
,
.
Пример 2. В результате 10 опытов получены следующие значения случайной величины: 1, 1, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6. Найдите закон распределения в табличной форме.
Решение. В данном случае в законе распределения вместо вероятности будем использовать относительную частоту появления данных значений fi:
xi
ni
fi
2/10=0,2
3/10=0,3
4/10=0,4
1/10=0,1
1,0
Закон распределения непрерывной случайной величины задается с помощью функции f(x), которая каждому значению х случайной величины ставит в соответствие ее вероятность f(x). Функцию f(x)называют плотностью распределения. При всех допустимых х функция f(x)³0.
Вероятность попадания значений случайной величины х в интервал [a, b] определяется интегрированием:
.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a, b] равна площади заштрихованной криволинейной трапеции на графике закона распределения:
Если непрерывная случайная величина определена на произвольном интервале Δ, то функция плотности распределения f(x) нормируется так, чтобы интеграл по всему интервалу Δ (который численно равен площади криволинейной трапеции, построенной на этом интервале) был равен 1:
.
.
.
.
.
,
.
,
.
.
.