Учесть погрешность округления при большом количестве арифметических действий практически невозможно.

[1] Диспут – (от лат. disputer рассуждать, спорить) – устный публичный спор, прения на научную или общественно важную тему

[2] Дискуссия – (от лат. discussio - исследование, разбор) спор, обсуждение какого-либо вопроса на собрании, в печати, частной беседе.

Учесть погрешность округления при большом количестве арифметических действий практически невозможно.

Есть случайные и систематические источники погрешности округления.

Случайные источники обычно компенсируют друг друга.

Например:

Знаки случайны и компенсируют друг друга при большом n.

Систематические источники вызывают накопление погрешности округления. Они являются дефектом структуры вычислений (алгоритма).

В машинной арифметике законы коммутативности (переместительный) и дистрибутивности (распределительный) не всегда соблюдаются.

Рекомендации для снижения ошибок округления:

1. При сложении и вычитании последовательности чисел действия необходимо начинать с наименьших по абсолютной величине значений.
2. Следует избегать вычитания двух близких чисел, преобразуя выражения.
3. Количество арифметических действий для решения задачи нужно сводить к минимуму.
4. Для уменьшения ошибки округления расчеты следует проводить с повышенной разрядностью (doubleprecisionв Pascal).

При выборе численного метода решения задачи необходимо учитывать следующее:

1. Погрешность метода должна быть на порядок меньше неустранимой погрешности. Увеличение погрешности метода снижает точность, уменьшение – увеличивает время решения задачи.

2. Погрешность округления должна быть значительно меньше (на два порядка) погрешности метода и неустранимой погрешности.

Для оценки погрешности решения на практике можно использовать следующие приемы:

1. Решить задачу различными численными методами и результаты сравнить.

2. Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются сильно, задача или метод ее решения являются неустойчивым – выбрать другой.

3.)Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины x находится значение искомой величины y. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность Dx, то решение имеет погрешность Dy. Задача называется устойчивой по исходному параметру x, если решение y непрерывно от него зависит, т. е. малое приращение исходной величины Dx приводит к малому приращению искомой величины Dy. (малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчетов.)
Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или к неверному результату.

Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

Численный алгоритм (метод) называется корректным в случае существования и единственности численного решения при любых значениях исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно погрешностей исходных данных.

Сходимостьчисленного метода- близость получаемого численного решения задачи к истинному решению.

Сходимость итерационного процесса- этот процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи и нахождения искомого значения определяемого параметра (например, корня нелинейного уравнения) строится метод последовательных приближений. В результате многократного повторения этого процесса (или итераций) получаем последовательность значений x₁, x₂,…, x_n,… Говорят, что эта последовательность сходитсяк точному решению x = a, если при неограниченном возрастании числа итераций предел этой

последовательности существует и равен a: - сходящийся численный метод.

4.)

Всякое значение , удовлетворяющее условию , называется корнем уравнения , а способ нахождения этого значения и есть решение уравнения.

Методы решения уравнений:

• Прямые (формула Виета для квадратного уравнения и Кардано для кубического и другие)
• Итерационные – для решения любого уравнения

Общая постановка задачи: Найти действительные корни уравнения , где - алгебраическая или трансцендентная функция.

Численное решение уравнения проводится в два этапа:

1 этап. Отделение корней уравнения.

2 этап. Уточнение интересующих корней с заданной точностью ε.

Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого из них достаточно малого отрезка [a,b], которому он принадлежит.

На первом этапе определяется число корней, их тип. Определяется интервал, в котором находятся эти корни, или определяются приближенные значения корней.

Задача отделения вещественных корней решается аналитическими и графическими методами.

Аналитические методы основаны на функциональном анализе.

Для алгебраического многочлена n-ой степени (полинома) с действительными коэффициентами вида

P_n(x) = a_n x ⁿ + a_n-1x^n-1 +...+a₁x+ a₀ = 0, (a_n >0)

верхняя граница положительных действительных корней определяется по формуле Лагранжа (Маклорена):

,

где: k ³ 1 – номер первого из отрицательных коэффициентов полинома;

B – максимальный по модулю отрицательный коэффициент.

Нижнюю границу положительных действительных корней можно определить из вспомогательного уравнения

Если для этого уравнения по формуле Лагранжа верхняя граница равна R₁, то

=

Тогда все положительные корни многочлена лежат в интервале

≤x⁺≤ .

Интервал отрицательных действительных корней многочлена определяется с использованием следующих вспомогательных функций.

и .

≤x^–≤ = = .

Постановка задачи:

Отделить корни уравнения, используя аналитический метод:

Методом Лагранжа определим границы положительных и отрицательных корней многочлена.

3x⁸ – 5x⁷ – 6x³ – x – 9 = 0

k = 1 B = |– 9| a_n = 3

= 4

9x⁸ + x⁷ + 6x⁵ + 5x – 3 = 0

Отсюда границы положительных корней 0,5 ≤ x⁺ ≤ 4

3x⁸ + 5x⁷ + 6x³ + x – 9 = 0

=

9x⁸ – x⁷ – 6x⁵ – 5x – 3 = 0

k = 1 B = 6 a_n = 9

Следовательно, границы отрицательных корней –2 ≤ x^– ≤ –0,6

Формула Лагранжа позволяет оценить интервал, в котором находятся все действительные корни, положительные или отрицательные. Поэтому, для определения расположения каждого корня необходимо проводить дополнительные исследования.

Для трансцендентных уравнений не существует общего метода оценки интервала, в котором находятся корни. Для этих уравнений оцениваются значения функции в особых точках: разрыва, экстремума, перегиба и других.

Графически корни можно отделить 2-мя способами:

1. Построить график функции y = f(x) и определить координаты пересечений с осью абсцисс− это приближенные значения корней уравнения.

Отделение корней на графике f(x).

1. Преобразовать f(x)=0 к виду j(x) = y(x), где j(x) и y(x) – элементарные функции, и определить абсциссу пересечений графиков этих функций.

		На графике 2 корня. Первый корень x1* Î [a,b]

Отделение корней по графикам функций j(x) и y(x).

Схема алгоритма отделения корней.

5.)

Уточнение корня – это вычисление интересующего корня с заданной точностью e.

Приближённые значения корней уравнения, полученные на предыдущем этапе, уточняются различными итерационными методами.

Метод дихотомии (половинного деления, бисекций)- (дихотомия - сопоставленность или противопоставленность двух частей целого) при нахождении корня уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится корень.

Алгоритм метода.

1. Вычислить координату середины отрезка [a,b] x = (a+b)/2 и значение ¦(x) в этой точке.
2. Уменьшить отрезок, отбросив ту его половину, на которой корня нет.

Если знак функции в начале отрезка и в его середине одинаков, то корень находится на второй половине, первую половину можно отбросить, переместив начало отрезка в его середину:

если ¦(a) ·¦(x)>0 => x^*Î [x,b] => a=x, иначе x^*Î [a, x] => b=x

1. Проверить условие завершения вычислений : длина отрезка не превышает заданную точность и значение функции близко к 0 с заданной точностью:

b-a ≤ ε ∩ |¦(x)| ≤ ε.

Если условие достигнуто, расчет завершен, иначе повторить алгоритм сначала.

Геометрическая интерпретация.

Схема алгоритма метода бисекций (дихотомии)

6.)Метод Ньютона (касательных)- основан на стратегии постепенного уточнения корня.

Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Уточнение корня – это вычисление интересующего корня с заданной точностью e.

Приближённые значения корней уравнения, полученные на предыдущем этапе, уточняются различными итерационными методами.

На отрезке существования корня выбирается начальное приближение x₀. К кривой f(x) в точке А с координатами (x₀, f(x₀)) проводится касательная. Абсцисса x₁ точки пересечения этой касательной с осью ОХ является новым приближением корня.

Из рисунка следует, что x₁ = x₀ − CB

Из ∆ABC: CD= . Но .

Следовательно,

Аналогично, для i-го приближения можно записать формулу итерационного процесса метода Ньютона:

, где x₀ Î [a;b]. (3.13)

Условие окончания расчета: , (3.14)

где −корректирующее приращение или поправка.

Условие сходимости итерационного процесса:

(3.15)

Если на отрезке существования корня знаки и не изменяются, то начальное приближение, обеспечивающее сходимость, нужно выбрать из условия

, x₀Î[a;b]. (3.16)

т.е. в точке начального приближения знаки функций и ее второй производной должны совпадать.

Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) вогнутый, , тогда x₀=b, т.к. f(b)>0.

Если же выбрать x₀=a, то итерационный процесс будет сходиться медленнее или даже расходиться (см. касательную для x₀=a).

Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график

f(x) выпуклый, f ’’(x)<0 , тогда x₀ =a, т.к. f(a)<0.

Схема алгоритма метода Ньютона:

7.)