N-канальная система с отказами

Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Дано: в системе имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживаний имеет интенсивность m. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: финальные вероятности состояний СМО p_n, а также характеристики ее эффективности:

A - абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

P_ОТК - вероятность отказа, т.е. того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ;

k - среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение. Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

- S₀ – в СМО нет ни одной заявки;

- S₁ – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

- S₂ – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

- S_k – в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны);

…

- S_n – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рисунке 1.10.1.

Рис. 1.10.1 Граф состояний для n – канальной СМО с отказами

Используя формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения, учитывая, что , получаем:

; (11)

, , … ,

, …, . (12)

Эти формулы для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга – в честь основателя теории массового обслуживания.

Зная финальные вероятности, нетрудно вычислить характеристики эффективности СМО, в частности, вероятность отказа:

. (13)

Отсюда находим относительную пропускную способность:

. (14)

Абсолютную пропускную способность находим, умножая интенсивность потока заявок l на Q:

. (15)

Среднее число занятых каналов определяется как:

. (16)