К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии доказывают теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов этого треугольника.Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.
Рис.1
Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна 
, а в другом - 
. Значит, 
.
Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками
М(х1;у1) и N(x2;y2) координатной плоскости (рис.2) выражается форм
y N
y2
y2-y1
у1 M х2-х1
О х1 х2 x
Рис.2
MN= 
. (1)
Пример 1. Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени -- 16 м.
Решение. По теореме Пифагора имеем
Так как 
, т. е. расстояние равно 20 м.
Пример 2. Найдем расстояние между точками М(3; 1)и N(8; -11) координатной плоскости.
Решение. По формуле (1) имеем
MN = 
= 
=13
