1.Понятие вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов.
2.Умножение вектора на число. Основные свойства умножения вектора на число.
3.Компланарные векторы. Доказать признак компланарности трех векторов.
4.Компланарные векторы. Доказать теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
5. Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Правила действия над векторами с заданными координатами.
6. Простейшие задачи в координатах: координаты середины отрезка.
7. Простейшие задачи в координатах: вычисление длины вектора по его координатам.
8. Простейшие задачи в координатах: расстояние между двумя точками.
9. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
ТЕМА: Прямые и плоскости в пространстве:
1.Основные понятия стереометрии, аксиомы, следствия аксиом.
2.Взаимное расположение прямой и плоскости. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.
3. Определение перпендикулярных прямых. Доказать признак перпендикулярности прямых.
4. Определение прямой , перпендикулярной к плоскости. Признак перпендикулярности. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
5.Взаимное расположение двух плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей.
6.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Доказать свойство параллельных прямых , перпендикулярных одной и той же плоскости .
7. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Доказать свойство прямых , перпендикулярных одной и той же плоскости.
8.Определение перпендикулярности двух плоскостей. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.
9.Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Показать угол между боковым ребром и плоскостью основания в правильной четырехугольной пирамиде.
10.Теорема о трех перпендикулярах.
11.Двугранный угол и его измерение.
ТЕМА: Многогранники и тела вращения:
1.Призма, ее элементы. Виды призм.
2.Определение параллелепипеда, его виды и свойства.
а) найдите область определения и область значений этой функции;
б) найдите все значения х, при которых у=0.
№7. Постройте график функции у = - cos x.
а) найдите область определения и область значений этой функции;
б) найдите все значения х, при которых у=0.
№8. Докажите тождества: а) ;
б) ;
в)
г)
№9.Найти область определения функции:
а) ; б) ; в) ; г) .
№10.Решите уравнения:
а) 2 sin x = ; б) cos ( x+ )= -1; в) 2 sin ² x – 3 sin x -2=0.
№11. а) Выразите в градусной мере величины углов и .
б) Дано: cos = , 0< < . Найдите sin , ctg , tg .
№12. а) Выразите в градусной мере величины углов и .
б) Дано: sin =- , < < . Найдите cos , tg , ctg .
№13. . Вычислите cos ( ), если sin
№14. Вычислите sin 2 , если:
а) sin б) cos
№15. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) .
№16. Найти наименьший положительный период функции:
а) ; б) ; в) .
ТЕМА: Показательная и логарифмическая функции:
№1. Решите уравнение: а) ; б) .
№2. Решите уравнение: а) ; б) .
№3.Решите неравенства: а) < ; б) .
№4.Решите уравнение: а) ; б) .
№5. Решите уравнение: а) ; б) .
№6. Решите уравнение: а) ; б)
№7. Решите уравнение: а) ; б)
№8. Решите уравнение: а) ; б) ;
в) ; г) ;
№9. Решите уравнение: а) ; б) ;
в) ; г)
№10. Решите уравнение: а) ; б)
№10. Найдите область определения функции: а) ;
б) .
№11. Решите неравенства: а) ; б) .
в)
№12.Вычислите: а) ; б) ; в) .
№13. Вычислите: а) ; б) ; в) .
№14. Вычислите: а) ; б) .
№15. Вычислите: а) ; б) ( .
№16. Дана функция у = 0,4 +1.
а) Постройте график этой функции.
б) Опишите свойства этой функции.
№17. Дана функция y = log
а) Постройте график этой функции.
б) Опишите свойства этой функции.
№18. Дана функция: у= log
а) Постройте график этой функции.
б) Опишите свойства этой функции.
№19. Дана функция у =
а) Постройте график этой функции.
б) Опишите свойства этой функции.
№20. Решите уравнение:
а) 5
б) log (x
№21. Решите неравенство:
а) log
б) lg(x-1)
в) 3
№22. Вычислите логарифмы:
а) ; б) ; в) ; г)
№23. Вычислите логарифмы:
а) ; б) ; в) ; г) .
№24. Вычислите:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
ТЕМА: Начала математического анализа:
№1.Вычислите производную функции и найдите ее значение :
а) б) .
№2. Вычислите интегралы: а) б) .
№3. Вычислите производную функции и решите уравнения , если:
а) ; б)
№4. Вычислите производные функций:
а) б)
№5. Исследовать функцию на возрастание и убывание:
а) б)
№6. Найти максимум и минимум функции: а) ; б)
№7. Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f(x) = 3x²-2,
б) f(x)= 4cos 2x,
в) f(x)= -2sin2x +3x.
№8. Найдите общий вид первообразных для функции:
а) f(x)=2sinx +3cosx,
б) f(x)= +x²,
в) f(x)=(2x-1)²+x .
№9. Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку М:
f(x)=1-4х, М( -1;9).
№10. Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку М:
f(x)=2х-2, М( 2;1).
№11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=2х², у=2х.
№12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=-х²+2, у=-х.
№13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х²+1, у=1, х=1.
№14. Найдите промежутки возрастания и убывании функции:
а) ; б)
№15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) ; б)
№16. Найдите точки экстремума функции; укажите точки:
а) ; б)
№16. Найдите точки экстремума функции; укажите точки:
а) ; б)
№17.Исследовать функцию и построить график :
а) ; б) ;
в) ; г)
№18.Вычислите производные функций:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е)
№19. Вычислите интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) .
ТЕМА: Комбинаторика, статистика, теория вероятностей:
№1.Найти значение выражения:
а) ; б) ; в) ; г) ; е)
№2. Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове: а) гипотенуза; б) треугольник.
№3. Вычислить:
; ; .
№4. Вычислить:
; ; .
№5.Сколько существует способов для обозначения с помощью букв А, В, С,Д, Е, F вершин данного: а) четырехугольника ; б) треугольника ?
№6. Решите относительно m уравнение:
а) ; б) ; в) .
№7. Из корзины, в которой находятся 4 белых и 7 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
№8. Определить вероятность появления «герба» при бросании монеты.
№9.В корзине 20 шаров: 5 синих, 4 красных, остальные черные. Выбирают наудачу один шар. Определить, с какой вероятностью он будет цветным.
№10. Случайная величина Х задана распределением по частотам М:
Х
-2
-1
М
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.
№11. Случайная величина Х задана распределением по частотам М:
Х
-4
-1
М
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.
№12. В таблице записаны результаты 20 взвешиваний ( с точностью до 1 г ) одной и той же стальной отливки:
Составьте таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам( W ) , а так же постойте полигон частот значений случайной величины Х – результат определения массы стальной отливки.
№13. Найти размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины Х , распределение которых по частотам M задано таблицей:
№2.Найдите значения m и n, при которых вектора и коллинеарны, если , .
№3. Вершины имеют координаты A (-2;0;1) , B ( -1;2;3), C ( 8;-4;9). Найдите координаты вектора , если BM –медиана .
№4. Даны векторы и , причем , , ˚. Найти:
1) ; 2) значение m, при котором векторы и перпендикулярны.
№5. Найдите угол между прямыми AB и CD, если A(3,-1,3), B(3,-2,2), C(2,2,3) и D(1,2,2).
№6. Даны векторы и (для № 1-5).
1. Найти .
2. Найти .
3. Найти .
4. Найти .
5. Найти координаты векторов , , .
№7. Даны точки A(-2,1,2), B(-6,3,-2), C(0,0,-5). Точка С- равноудалена от точек А и B . Найдите площадь .
№8. - параллелепипед. Найдите .
№9. - параллелепипед. Найдите .
№10.Даны точки А ( -1; 2;1), В ( 3; 0;1) , С ( 2;-1;0) , и Д ( 2;1;2). Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и СД.
ТЕМА: Прямые и плоскости в пространстве:
№1.Из точки пространства проведен к плоскости перпендикуляр, равный 6 см и наклонная, длиной 9 см. Найдите: а) длину проекции наклонной на плоскость; б) угол наклона данной наклонной к плоскости.
№2. Дан треугольник АВС, точка Д не лежит в плоскости треугольника. Точки А , В , С середины отрезков АД, ВД,СД соответственно. Доказать, что плоскости А В С и АВС параллельны.
№3. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 12 и 24 см, проекции которых относятся как 1:7. Найдите расстояние от точки до плоскости.
№4. Точка К не лежит в плоскости прямоугольника АВСД. Отрезок ОК перпендикулярен плоскости прямоугольника и равен 12см. Найдите расстояние от точки К до вершины прямоугольника В, если стороны прямоугольника равны 6 и 8 см.
№5. Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А , а сторону ВС- в точке С . Найдите А С , если АС=12см, ВА : ВА = 1:3.
№6. Дан квадрат АВСД сторона которого равна 3см. Из точки М проведена прямая МВ перпендикулярно к плоскости квадрата, отрезок МВ равен 4см. Вычислите площадь треугольника МСД.
№7. Точка К, удаленная от плоскости треугольника АВС на 4см, находится на равном расстоянии от его вершин. Стороны треугольника равны 12см. Вычислите: а) длину проекции отрезка КВ на плоскость треугольника;
б) расстояние от точки К до вершин треугольника.
№8.Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.
№9. Докажите , что через прямую можно провести две различные плоскости.
№10.Прямые a и b пересекаются. Докажите , что все прямые , параллельные прямой b и пересекающие прямую a , лежат в одной плоскости.
ТЕМА: Многогранники и тела вращения:
№1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12и 5см. Диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найти длину бокового ребра.
№2. Площадь сечения шара плоскостью равна 81π см . Радиус шара равен 15см. Вычислите расстояние от центра шара до плоскости сечения.
№3. В прямой треугольной призме в основании лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой 10см и катетом 8см. Площадь наименьшей боковой грани равна 120см . Найдите боковые ребра.
№4. В шаре на расстоянии 5см от центра проведено сечение, радиус которого равен 12см. Найти радиус шара.
№5. Осевое сечение конуса – прямоугольный равнобедренный треугольник, катет которого равен 16см. Вычислите длину высоты конуса и площадь его сечения.
№6. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину дуги окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12см .
№7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м , а площадь основания 5 м . Найдите высоту цилиндра.
№8. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм , а площадь основания равна 8 дм .
№9. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку М, если
А( -2; 2; 0), М ( 5; 0; -1 ).
№10. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см , а образующая равна 10 см. Найдите высоту усеченного конуса и площадь осевого сечения.
ТЕМА: Площади поверхностей тел:
№1. В конусе образующая равна 15 см, а высота конуса 9 см. Найдите площадь основания.
№2. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 и 8 м, образуют угол 30°, боковое ребро равно 5м. Найти полную поверхность параллелепипеда.
№3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.
№4. Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
№5. Радиусы оснований усеченного конуса 8м и 5м, высота 4м. Найти площадь боковой поверхности и объем.
№6. Высота конуса 15м, объем 320Пм³. Определите полную поверхность конуса.
№7. Радиусы оснований усеченного конуса 6см и 11см, высота 12см. Найти площадь боковой поверхности.
№8. Сечением цилиндра является квадрат. Объем цилиндра 128П дм³. Найти площадь полной поверхности.
№9. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, а высот цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
№10.Площадь сферы равна 324 см . Найдите радиус сферы.
ТЕМА: Объемы тел:
№1. Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 4 дм, а высота равна дм; показать угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
№2. Вычислить объем пирамиды, если в основании ее лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна 16 см.
№3. Найти объем прямого параллелепипеда, основанием которого является ромб с диагоналями 12 см и 16 см, а высота параллелепипеда равна 16 см.
№4. Вычислить: а) объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 4 см, 3 см, 5 см.
б) диагональ этого параллелепипеда.
№5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см. она наклонена к плоскости основания под углом 60°. Вычислите объем цилиндра.
№6. Длина окружности сечения шара плоскостью равна 8π см. радиус шара, проведенный в точку окружности, наклонен к плоскости сечения под углом 45°. Вычислите объем шара.
№7. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9м и 12м, все боковые ребра равны 12,5м. Найдите объем пирамиды.
№8. Длины сторон основания прямого параллелепипеда равны 10 и 5 см, а величина угла между ними равна 45º. Найдите объем параллелепипеда, если длина меньшей его диагонали равна 10см.
№9. Полная поверхность цилиндра 80П м², площадь его основания 25П м². Определить объем цилиндра.
№10. Длина окружности сечения шара плоскостью равна 8π см. радиус шара, проведенный в точку окружности, наклонен к плоскости сечения под углом 45°. Вычислите объем шара.
; б) 
;
; б) 
;
;
.
;
.
<α< 
; 0<α< 
cos x.
;
;
; б) 
; в) 
; г) 
.
; б) cos ( x+ 
)= -1; в) 2 sin ² x – 3 sin x -2=0.
и 
.
= 
, 0< 
и 
.
, 
), если sin 
, если:
б) cos 
; б) 
; в) 
; г) 
;
; е) 
; ж) 
.
; б) 
; в) 
.
; б) 
.
; б) 
.
< 
; б) 
.
; б) 
.
; б) 
.
; б) 
; б) 
; б) 
; 
; г) 
;
; б) 
;
; г) 
; б) 
;
.
; б) 
.
; б) 
; в) 
.
; б) 
; в) 
.
; б) 
.
; б) 
( 
.
+1.
(x 
; б) 
; в) 
; г) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
;
;
;
.
:
б) 
.
б) 
.
, если:
; б) 
б) 
б)
; б)
+x²,
.
; б) 
; б) 
точки:
; б) 
; б) 
; б) 
;
; г) 
; б) 
; в) 
;
; д) 
; е) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
; б) 
; в) 
; г) 
; е) 
; 
; 
.
; 
; 
.
; б) 
; в) 
.
, 
, 
. Найдите координаты вектора 
.
и 
коллинеарны, если 
, 
.
имеют координаты A (-2;0;1) , B ( -1;2;3), C ( 8;-4;9). Найдите координаты вектора 
, если BM –медиана 
, 
, 
˚. Найти:
; 2) значение m, при котором векторы 
перпендикулярны.
и 
(для № 1-5).
.
.
.
.
, 
, 
.
- параллелепипед. Найдите 
.
.
, В 
. Радиус шара равен 15см. Вычислите расстояние от центра шара до плоскости сечения.
см, а величина угла между ними равна 45º. Найдите объем параллелепипеда, если длина меньшей его диагонали равна 10см.