ТЕМА 1. ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

В данной теме рассматриваются операции с процентными ставками и прикладные аспекты финансовых рент.

Наращение капитала с использованием схемы простых процентов осуществляется по формуле (1):

(1)

где – накопленная величина капитала за период времени t;

– первоначальная величина капитала в момент времени t=0;

– процентная ставка (ставка доходности).

Наращение капитала с использованием схемы сложных процентов осуществляется по формуле (2):

(2)

Для дисконтирования с использованием схем простых и сложных процентов применяются формулы (3)-(4):

		(3)
(4)

Расчет времени наращения капитала с использованием схем простых и сложных процентов осуществляется на основе формул (5)-(6):

		(5)
(6)

Величина процентной ставки определяется по формулам (7)-(8):

		(7)
(8)

Расчет реальной процентной ставки осуществляется с использованием формулы И. Фишера:

(9)

где – значение реальной процентной ставки;

– значение номинальной процентной ставки;

– уровень инфляции.

Финансовые ренты представляют собой потоки платежей, осуществляемых через равные промежутки времени.

Выделяют накопленную (компаундированную) и современную (дисконтированную, приведенную) величину ренты.

Формулы расчета накопленной и современной величины ренты зависят от конкретной ситуации.

Ситуация 1. Величина ренты не постоянна во времени (варьирует); процентная ставка остается неизменной на протяжении всего расчетного периода:

		(10)
		(11)

где – накопленная величина ренты;

– современная величина ренты;

– номера периодов времени;

– продолжительность расчетного периода;

– величина ренты в периоде времени t.

Ситуация 2. Величина ренты и процентной ставки не постоянны во времени:

		(12)
		(13)

где – номера периодов времени;

– размер процентной ставки в периоде времени .

Ситуация 3. Величина ренты и процентной ставки неизменны на протяжении всего расчетного периода:

		(14)
		(15)

где – размер постоянной ренты.

Примеры решения задач:

Задача 1.

На депозитном счете было размещено 20000 руб. Депозитная процентная ставка составляет 7% годовых. Определить, какая сумма будет на счете через 4 года, если используется:

а) схема простых процентов;

б) схема сложных процентов.

Решение:

При использовании схемы простых процентов накопленная величина капитала составит (формула (1)):

руб.

При использовании схемы сложных процентов накопленная величина капитала составит (формула (2)):

руб.

Ответ:

Через 4 года на депозитном счете будет находиться сумма в размере:

а) 25600 руб., если используется схема простых процентов;

б) 26216 руб., если используется схема сложных процентов.

Задача 2.

Депозитная процентная ставка составляет 8% годовых. Определить, какую сумму необходимо разместить в банке, чтобы через 6 лет размер средств на депозитном счете составил 340000 руб., если используется:

а) схема простых процентов;

б) схема сложных процентов.

Решение:

При использовании схемы простых процентов первоначальная величина капитала составит (формула (3)):

руб.

При использовании схемы сложных процентов первоначальная величина капитала составит (формула (4)):

руб.

Ответ:

Для того чтобы через 6 лет размер средств на депозитном счете составил 340000 руб. в банке необходимо разместить:

а) 229730 руб., если используется схема простых процентов;

б) 214258 руб., если используется схема сложных процентов.

Задача 3.

Размер депозитного вклада составляет 90000 руб., депозитная процентная ставка – 7,5% годовых. Определить, за какой период времени размер средств на депозитном счете составит 120000 руб., если используется:

а) схема простых процентов;

б) схема сложных процентов.

Решение:

При использовании схемы простых процентов время наращения капитала составит (формула (5)):

года.

При использовании схемы сложных процентов время наращения капитала составит (формула (6)):

года.

Ответ:

Период времени, необходимый для того, чтобы размер средств на депозитном счете оказался равным 120000 руб., составляет:

а) 4,4 года, если используется схема простых процентов;

б) 4 года, если используется схема сложных процентов.

Задача 4.

На депозитном счете было размещено 480000 руб. сроком на 5 лет. В конце расчетного периода общая сумма средств составила 690000 руб. Определить годовой размер депозитной процентной ставки, если используется:

а) схема простых процентов;

б) схема сложных процентов.

Решение:

При использовании схемы простых процентов годовой размер депозитной процентной ставки составит (формула (7)):

.

При использовании схемы сложных процентов годовой размер депозитной процентной ставки составит (формула (8)):

.

Ответ:

Годовой размер депозитной процентной ставки составляет:

а) 8,8%, если используется схема простых процентов;

б) 7,5%, если используется схема сложных процентов.

Задача 5.

Депозитная процентная ставка составляет 8,5% годовых; прогнозируемый уровень инфляции в годовом исчислении – 6,2%. Определить реальную годовую доходность размещения средств на депозитном счете.

Решение:

Реальная годовая доходность размещения средств на депозитном счете определяется с использованием формулы (9):

.

Ответ:

Реальная годовая доходность депозитного вклада составляет 2,2%.

Задача 6.

Определить накопленную и современную величину финансовой ренты на основе данных, представленных в таблице 1, при условии, что процентная ставка составляет 10% годовых.

Таблица 1 – Потоки платежей на конец соответствующего года

Решение:

Расчет накопленной и современной величины ренты осуществляется исходя из условий, соответствующих ситуации 1, по формулам (10)-(11):

тыс. руб.;

тыс. руб.

Ответ:

Накопленная величина финансовой ренты составляет 1790 тыс. руб., современная величина платежей – 1223 тыс. руб.

Задача 7.

Определить накопленную и современную величину финансовой ренты на основе данных, представленных в таблице 2.

Таблица 2 – Потоки платежей на конец соответствующего года

и процентные ставки

Решение:

Расчет накопленной и современной величины ренты осуществляется исходя из условий, соответствующих ситуации 2, по формулам (12)-(13):

тыс. руб.;

93 тыс. руб.

Ответ:

Накопленная величина финансовой ренты составляет 152 тыс. руб., современная величина платежей – 93 тыс. руб.

Задача 8.

На депозитном счете в банке ежегодно размещались средства в размере 50000 руб. Депозитная процентная ставка составляет 7% годовых. Определить, какая сумма будет на счете через 8 лет.

Решение:

Накопленная величина средств на депозитном счете определяется по формуле (14):

руб.

Ответ:

Через 8 лет размер средств на депозитном счете составит 512990 руб.

Задача 9.

Заемщик ежегодно в течение 4 лет погашает кредит в банке (включая основной долг и проценты) в размере 630478 руб. Определить размер кредита при условии, что кредитная процентная ставка составляет 15% годовых.

Решение:

Величина взятого кредита определяется по формуле (15):

руб.

Ответ:

Размер кредита составляет 1800000 руб.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1.

На депозитном счете было размещено 75000 руб. Депозитная процентная ставка составляет 8% годовых. Определить, какая сумма будет на счете через 3 года, если используется:

а) схема простых процентов;

б) схема сложных процентов.

Задача 2.

Депозитная процентная ставка составляет 6,5% годовых. Определить, какую сумму необходимо разместить в банке, чтобы через 5 лет размер средств на депозитном счете составил 800000 руб., если используется:

а) схема простых процентов;

б) схема сложных процентов.

Задача 3.

Размер депозитного вклада составляет 42000 руб., депозитная процентная ставка – 7% годовых. Определить, за какой период времени размер средств на депозитном счете составит 60000 руб., если используется:

а) схема простых процентов;

б) схема сложных процентов.

Задача 4.

На депозитном счете было размещено 230000 руб. сроком на 6 лет. В конце расчетного периода общая сумма средств составила 370000 руб. Определить годовой размер депозитной процентной ставки, если используется:

а) схема простых процентов;

б) схема сложных процентов.

Задача 5.

Депозитная процентная ставка составляет 9% годовых; прогнозируемый уровень инфляции в годовом исчислении – 6,7%. Определить реальную годовую доходность размещения средств на депозитном счете.

Задача 6.

Определить накопленную и современную величину финансовой ренты на основе данных, представленных в таблице 3, при условии, что процентная ставка составляет 12% годовых.

Таблица 3 – Потоки платежей на конец соответствующего года

Задача 7.

Определить накопленную и современную величину финансовой ренты на основе данных, представленных в таблице 4.

Таблица 4 – Потоки платежей на конец соответствующего года

и процентные ставки

Задача 8.

На депозитном счете в банке ежегодно размещались средства в размере 35000 руб. Депозитная процентная ставка составляет 8% годовых. Определить, какая сумма будет на счете через 6 лет.

Задача 9.

Заемщик ежегодно в течение 3 лет погашает кредит в банке (включая основной долг и проценты) в размере 86000 руб. Определить размер кредита при условии, что кредитная процентная ставка составляет 17% годовых.