Представление данных в ЭВМ. Типы данных. Погрешности решения задач в ЭВМ.

Одно и то же число может быть записано в различных формах

452,34 = 452340·10^-3 = 0,0045234·10⁵ = 0,45234·10³

Естественная форма Нормальная форма

Машинным изображением числа называют его представление в разрядной сетке ЭВМ. Числа в ЭВМ также могут быть представлены в двух формах

1) Естественная (с фиксированной запятой ФЗ)

2) Нормальная или полулогарифмическая (с плавающей запятой ПЛЗ)

В форме с ФЗ в разрядной сетке выделяется строго определенное число разрядов для целой и для дробной частей числа. Левый (старший) разряд хранит признак знака (0 – "+", 1 – "-") и для записи числа не используется.

Сама запятая никак не изображается, но ее место строго фиксировано и учитывается при выполнении всех операций с числами. Независимо от положения запятой в машину можно вводить любые числа, т.к.

A = [A] · K_A

где А – произвольное число

[A] – машинное изображение числа в разрядной сетке

K_A - масштабный коэффициент.

С целью упрощения разработки программ запятую часто размещают сразу после знака числа, тогда -1< [A] <1, т.е. в ЭВМ хранятся только правильные дроби в диапазоне ±[A]min = 0,0000….1 = 2^-n до ±[A]max = 0,1111….1 = 1 – 2^-n (n – количество разрядов для хранения дробной части). Второй распространенный вариант – использование целочисленной арифметики, когда запятая фиксируется на правом краю разрядной сетки. При любом выборе места запятой максимальная абсолютная погрешность представления числа - единица младшего разряда разрядной сетки.

Для машинного представления чисел с ПЛЗ используют формулу [A] =m·2^P, где m - мантисса (|m|<1), а р – порядок (целое число). В разрядной сетке выделяется определенное количество разрядов для хранения мантиссы и порядка с их знаками. Основание системы счисления (2) нигде не хранится, но используется при вычислениях.

Существуют форматы с другим размещением мантиссы и порядка в разрядной сетке.

Для каждого числа существует множество нормальных форм:

0,25 = 0,25·10⁰= 0,025·10¹ = 0,0025·10²

При увеличении порядка происходит сдвиг мантиссы вправо, младшие разряды могут выйти за пределы разрядной сетки, что уменьшит точность представления чисел. Поэтому для представления чисел с ПЛЗ используется нормализованная форма записи, когда первая цифра мантиссы должна быть обязательно значащей. (двоичная единица):

В большинстве языков программирования существуют следующие базовые типы данных: целый, вещественный, строковый, логический.

При решении задачи на ЭВМ практически невозможно получить точное решение. Получаемое численное решение почти всегда содержит погрешность, т.е. является приближенным. Погрешности решения задач на ЭВМ объясняются следующими причинами:

1) математическая модель задачи является приближенным описанием реального объекта или процесса. Поэтому получаемые результаты также всегда будут приближенными, а их погрешности зависят от степени адекватности моделей реальному объекту или процессу;

2) исходные данные при решении вычислительной задачи, как правило, содержат погрешности. Это объясняется тем, что исходные данные получают в результате экспериментов, наблюдений, измерений или в результате решения вспомогательных задач;

3) применяемые для решения вычислительных задач методы в большинстве случаев являются приближенными, так как получить аналитическое решение задачи обычно не удается;

4) использование ЭВМ вносит ошибки, которые появляются при вводе-выводе данных в процессе вычислений.