Решение задач

Задача 1.Вычислить:

а) ; б) ; в)

Решение:

а) , т.к. и ;

б) , т.к. и ;

в) , т.к. и

Задача 2.Решить уравнения:

а) ; б) ; в) ; г)

Решение:

а) . Решение найдём по формуле

б) ;

. Решение найдём по формуле .

в) . Введём новую переменную , тогда . Решение находим по формуле: .

или ;

г) . Введём новую переменную , тогда . Используя частные случаи решения, получим: , или .

Тогда ,

Задача 3.Решить неравенства:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а)

Неравенство

равносильно неравенству

, или

на единичной окружности отметим точки, синус которых равен

(это можно сделать, проведя прямую

или используя таблицу значений тригонометрических функций). Отмеченным точкам соответствуют числа

соответственно. Т.к. неравенство строгое, то отмеченные точки выделим

«пустыми» кружками. Затем отметим точки, для которых . Чтобы записать решение, будем двигаться против часовой стрелки от одной из главных точек к другой, так, чтобы «пройти» по всем точкам решения. Получим . Чтобы получить все решения неравенства, добавим к границам неравенства период функции , тогда где .

б)

Отметим на единичной окружности точки, для которых

закрашенными кружками (это можно сделать, проведя прямую

или, используя таблицу значений тригонометрических функций). Главным точкам соответствуют числа

. Затем отметим точки, для которых

. Запишем решение «двигаясь» от одной

главной точки к другой против часовой стрелки, так, чтобы пройти все точки решения и получим

или

в)

Отметим на единичной окружности «пустым» кружком точки, для которых

не существует. Из 4 – х образовавшихся промежутков выделим те, на которых

. Заметим, что решение неравенства на одном из промежутков получаются из решений на другом из промежутков добавляем

. Двигаясь против часовой стрелки от одной из главных точек к другой, получим ответ

или

СРС № 8

«Решение тригонометрических уравнений»

Форма организации: малыми группами.

1 Цели работы: закрепить и углубить умения решать тригонометрические уравнения методами разложения на множители, введением вспомогательной переменной и однородные тригонометрические уравнения.

2 Уровни усвоения.

Знать:

- формулы решения простейших тригонометрических уравнений ;

- определение однородных тригонометрических уравнений I и II степени;

- как решать однородные тригонометрические уравнения I и II степени;

- методы решения тригонометрических уравнений;

- инструкцию по решению тригонометрических уравнений.

Уметь:

- упрощать тригонометрические уравнения, применяя известные формулы тригонометрии;

- определять вид уравнения и в зависимости от вида уравнения применять соответствующий метод решения;

- решать уравнения вида .

3 Методические рекомендации и указания.

3.1 Работа состоит из 12 вариантов. Разнообразие видов уравнений даёт возможность определить усвоение студентами умение применять соответствующие методы решения тригонометрических уравнений при решении уравнений и формулы корней простейших уравнений. Каждый вариант содержит 10 уравнений:

· задание 1 – решение уравнений с помощью разложения на множители;

· задание 2 – решение уравнений с помощью введения вспомогательной переменной;

· задание 3 – решение однородных тригонометрических уравнений;

· задание 4 – решение уравнений, требующих преобразований с помощью формул сложения, приведения …;

· задание 5 – решение уравнений, метод решения которых или вид преобразования которых студент выбирает самостоятельно.

3.2 При решении уравнений студент может использовать:

- справочник формул корней уравнений вида ;

- краткий справочник методов решения тригонометрических уравнений с примерами решения уравнений;

- инструкцию по выполнению решения уравнений;

- литературу: «Алгебра и начала анализа». Часть 1 (учебник для техникумов) под редакцией Г.Н. Яковлева, глава V x 36 п.2.

4 Содержание работы.

Задание 1. Решите тригонометрические уравнения с помощью разложения на множители.

1.1 а)

б)

1.2 а)

б)

1.3 а)

б)

1.4 а)

б)

1.5 а)

б)

1.6 а)

б)

1.7 а)

б)

1.8 а)

б)

1.9 а)

б)

1.10 а)

б)

1.11 а)

б)

1.12 а)

б)

Задание 2. Решите тригонометрические уравнения методом введения вспомогательной переменной.

2.1 а)

б)

2.2 а)

б)

2.3 а)

б)

2.4 а)

б)

2.5 а)

б)

2.6 а)

б)

2.7 а)

б)

2.8 а)

б)

2.9 а)

б)

2.10 а)

б)

2.11 а)

б)

2.12 а)

б)

Задание 3. Решите однородные тригонометрические уравнения.

3.1 а)

б)

3.2 а)

б)

3.3 а)

б)

3.4 а)

б)

3.5 а)

б)

3.6 а)

б)

3.7 а)

б)

3.8 а)

б)

3.9 а)

б)

3.10 а)

б)

3.11 а)

б)

3.12 а)

б)

Задание 4. Решите уравнения, используя формулы приведения, формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и формулы преобразования тригонометрических функций от суммы и разности углов.

4.1 а)