Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть, например, функция f(x) представима в виде ряда

. (1)

Следовательно, необходимо определить коэффициенты а₀,а₁,а₂,...; причем интервал сходимости не сводится к точке, то есть R>0.

Учтем то, что степенной ряд (1) в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз и все полученные таким образом ряды тоже будут сходиться, а их суммы равны соответствующим производным.

Продифференцируем последовательно ряд (3.1):

f^/(x) = a₁ + 2×a₂×x + 3×a₃×x² + ...

f^//(x) = 2×a₂ + 2×3×a₃×x + 3×4×a₄×x² + ...

f^///(x) = 2×3×a₃ + 2×3×4×a₄×x + 3×4×5×a₅×x² + ...

f^IV(x) = 2×3×4×a₄ + 2×3×4×5×a₅×x + ...

........................................................................

Положим теперь в этих равенствах и в (1) х = 0; тогда получим, что

f(0) = a₀; f^/(0) = a₁; f^//(0) = 2×a₂; f^///(0) = 2×3×a₃; f^IV(0) = 2×3×4×a₄; ...

То есть а₀ = f(0); ; ; ; ; ...

Подставляя эти значения в (1), получим ряд Маклорена:

. (2)

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций:

1. f(x) = e^x.

Так как f^(к)(x) = e^x для любого к. Полагая х = 0 , получим f^(к)(0) = e⁰ = 1.

Тогда ряд Маклорена имеет вид

.

Исследуем ряд на сходимость.

, следовательно, применяя признак Даламбера,

.

, следовательно, ряд сходится для каждого х, принадлежащего .

2. f(x) = Sinx.

f^/(x) = Cosx; f^//(x) = -Sinx; f^///(x) = -Cosx...

При х=0 имеем

f(0) = 0; f^/(0) = 1; f^//(0) = 0; f^///(0) = -1.

Отсюда

.

3. f(x) = Cosx (аналогично). Получим

Пример. Разложить в ряд функцию .

Решение.

Т.к. , то заменяя х на , получим , , и наконец

Область сходимости ряда

В некоторых случаях функция f(x) или ее производная неопределенны при х = 0: так, например, ведут себя функции f(x) = ln(x), , для которых или . Следовательно, такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена. Тогда нужно воспользоваться более общими степенными рядами.

Рассмотрим разложение в степенной ряд функции f(x) по степеням (х-а), где а¹0 и его можно подобрать соответствующим образом так, чтобы f(x) = А₀ + А₁×(х - а) + А₂×(х - а)² +... (3)

Пусть х - а = z. Тогда разложение (3) примет вид F(z) = f(z + a) = А₀ + А₁×z + А₂×z² +.. (4),где . Но это уже ряд Маклорена.

Так как F⁽ⁿ⁾(z) = f⁽ⁿ⁾(z + a), (n=1,2,...).

Таким образом, имеем A₀ = F(0) = f(a), , ..., , ...

Подставив эти выражения в (4), получим ряд Тейлора

. (5)

Если а = 0, получим ряд Маклорена.

Если в (5) взять конечное число членов, то вместо ряда Тейлора получим многочлен Тейлора

. (6)

То есть если (5) сходится в некоторой окрестности точки а (U_a), то его сумма равна f(x), a P_n(x) дает приближенное представление f(x) в U_a.

Пример.Разложить многочлен f(x) = x⁴ + 2×x² – 6 по возрастающим степеням (х - 2).

f^/(x) = 4×x³ + 4×x; f^//(x) = 12×x² + 4; f^///(x) = 24×x; f^(IV)(x) = 24; f^(V)(x) = 0; f⁽ⁿ⁾(x) = 0 (n > 4).

При х = 2 получим коэффициенты разложения: f(2) = 16 + 8 - 6 = 18; f^/(2) = 40; f^//(2) = 12; f^///(2) = 48; f^(IV)(2) = 24.

Таким образом имеем следующее разложение , или окончательно f(x) = 18 + 40×(x-2) + 6×(x-2)² + 8×(x-2)³ + (x-2)⁴.