1 Цели работы: закрепить и углубить знания о преобразованиях графиков функций, умения строить графики тригонометрических функций, переходить от одного способа задания к другому и решать тригонометрические уравнения графическим методом.
2 Уровни усвоения.
Знать:
- графики элементарных функций;
- способы задания функций;
- виды преобразований графиков функций;
- графики функций ;
- алгоритм решения тригонометрических уравнений графическим методом.
Уметь:
- строить графики элементарных функций (в том числе и графики );
- выполнять преобразования графиков тригонометрических функций и описывать эти преобразования;
- по аналитическому заданию функции описывать построение графика функции;
- по графику функции задавать функцию аналитически;
- А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа», часть 1, учебник 10 – 11 кл. Глава I , x 9 - x13, x18;
- «Алгебра и начала анализа». Часть 1 (учебник для техникумов) под редакцией Г.Н. Яковлева, глава V, x 35.
3.3 Студентам предлагается для дополнительной работы выполнить задания повышенной сложности (варианты 13 - 15). Для получения «удовлетворительно» достаточно выполнить задание 1а и задание 2а или 3, на «хорошо» задание 1а, 2а и 3, на «отлично» задание 1а,б; 2 а, б и 3.
4 Содержание работы.
Задание 1. Решите уравнения графически:
1.1 а) б)
1.2 а) б)
1.3 а) б)
1.4 а) б)
1.5 а) б)
1.6 а) б)
1.7 а) б)
1.8 а) б)
1.9 а) б)
1.10 а) б)
1.11 а) б)
1.12 а) б)
1.13* а) б)
1.14* а) б)
1.15* а) б)
Задание 2. а) Опишите построение графика функции по её аналитическому заданию.
б) Постройте график функции.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13*
2.14*
2.15*
Задание 3. Задайте аналитически функцию, график которой изображён.
3.1
3.2
Алгоритм решения простейших
тригонометрических уравнений графическим методом
Нет Да
Нет Да
Решение задач
Задача 1.Решить графически уравнение: .
Решение:
- строим и в одной системе координат и находим абсциссы точек пересечения или: пусть , тогда получим уравнение .
Строим в одной и той же системе координат графики и .
По графику находим, что или , , тогда , , т.е. , Ответ: ,
Задача 2. Описать построение графика: а) ; б) и построить его.
Решение:
а) Построим полуволну графика и выполним её сжатие к оси с коэффициентом 3, затем построим весь график.
б) Построим синусоиду (полуволну графика ), выполним её сдвиг на ед. вправо, а затем сдвиг на 1 ед. вверх вдоль оси
Или: Построим новую систему координат , где и в ней график - это и будет график в «старой» системе координат.
Преобразование графиков функций
1 - график этой функции получается из графика
· сжатием к оси ординат ( ), если ;
· растяжением от оси , если .
2 - график этой функции получается из графика
· растяжение от оси абсцисс ( ), если ;
· сжатием к оси , если .
3 - график этой функции получается из графика параллельным переносом вдоль оси на единиц:
· влево, если ;
· вправо, если .
4 - график этой функции получается из графика параллельным переносом вдоль оси на единиц:
· вверх, если ;
· вниз, если .
5 - график этой функции получается из графика , путём преобразования симметрии относительно оси .
Вопросы для самоконтроля
1 Какую окружность называют единичной?, числовой?
2 Зачем вводится новая математическая «единичная окружность»?
3 Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента?
4 Где и как отмечают значения ?
5 Какие знаки имеют в каждой числовой четверти?
6 В какой четверти единичной окружности:
· имеют одинаковый знак;
· и ;
· и ;
· и .
7 Каковы значения для и ?
8 Что вы можете рассказать о градусной и радианной мерах углов и дуг? Каковы соотношения между этими мерами?
9 Что такое 1 радиан?
10 Какова градусная мера 1 радиана?
11 Какими свойствами обладают и ?
12 Формулы, какого вида называют формулами приведения?
13 Для чего нужны формулы привидения?
14 Каковы правила запоминания формул приведения?
15 Назовите основные тригонометрические тождества. Как их получить?
16 Назовите тригонометрические функции числового аргумента. Какое название имеет график каждой из этих функций?
17 Каков период, основной период каждой тригонометрической функции? ?
18 Какими свойствами обладают тригонометрические функции?
19 Какие преобразования выполнимы с графиками тригонометрических функций? В чём суть этих преобразований?
90/16.
, 
, их графики и свойства»
, 
;
через 
;
выражается через синус (тангенс).
;
и сводящихся к ним;
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
.
- строим 
и 
в одной системе координат и находим абсциссы точек пересечения или: пусть 
, тогда получим уравнение 
.
и 
или 
, 
, 
, 
; б) 
и построить его.
с коэффициентом 3, затем построим весь график.
ед. вправо, а затем сдвиг на 1 ед. вверх вдоль оси 
, где 
и в ней график 
- это и будет график 
в «старой» системе координат.
- график этой функции получается из графика 
;
.
- график этой функции получается из графика 
), если 
;
.
- график этой функции получается из графика 
единиц:
;
.
- график этой функции получается из графика 
единиц:
;
.
- график этой функции получается из графика 
?
и 
;
и 
;
и 
.
и 
?
и 
?
?