Коды Малера.

Коды Рида-Маллера относятся к линейным двоичным кодам, имеющим большие кодовые расстояния и исправляющим благодаря этому много ошибок. Они пригодны для каналов с малым отношением сигнал/помеха. Этот класс кодов интересен и потому, что с ним связаны многие другие сигналы, применяемые в радиотехнических системах: ортогональные и биортогональные сигналы, симплексные коды, -последовательности и коды Хэмминга.

Кодовое слово длины обычно рассматривается как булева функция (или ее инверсия), заданная в точках, т.е. на наборах из двоичных элементов. Можно многими способами нумеровать позиции кодового слова -разрядными двоичными векторами. Ясно, что, как в случае кодов Хэмминга, такая перестановка не влияет на помехоустойчивость получаемых кодов. Будем нумеровать позиции кодового слова числами в двоичной системе счисления , где для . Ввиду линейности кодов Рида-Маллера каждый символ кодового слова представим линейной комбинацией

,

или ее инверсией

,

где – известные информационные символы.

В соответствии с определением порождающей матрицы (5.16) и правилом покомпонентного сложения векторов элементы являются столбцами матрицы . Для порождающая матрица размера на имеет вид:

.

Столбцы матрицы без верхней строки представляют собой последовательность чисел, записанных в двоичной системе счисления (младшие разряды внизу). Таким образом, столбцы матрицы можно рассматривать как последовательность состояний двоичного суммирующего счетчика:

,

(5.34)

где 1 – последовательность из единиц; – последовательность состояний последнего (старшего) разряда счетчика; – последовательность состояний первого (младшего) разряда. Отметим, что перестановка столбцов и строк порождающей матрицы приводит к эквивалентным кодам.