Понятие множества. Конечные и бесконечные множества, пустое множество.

Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики.

Множество – это любая определённая совокупность объектов.

Например: множество гласных букв русского алфавита.

Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Например: Множество N натуральных чисел 1,2,3,4,..

Если объект х является элементом множества М, то говорят, что х принадлежит М. Обозначение: х М. В противном случае говорят, что х не принадлежит М. Обозначение: х М.

Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита, элементы множеств – строчными буквами.

Множества делятся на конечные и бесконечные.

Все элементы конечного множества можно перечислить. (Множество предметов, изучаемых в школе)

Элементы бесконечного множества нельзя собрать в законченную совокупность. (Множество точек прямой)

Множество, не содержащее элементов называется пустым. Обозначение:Ǿ

Пример: множество людей на Солнце.

Задание множеств.

Множество считается заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.

Множество можно задать:

1) перечислением его элементов

А = {х₁,х₂…х_п} (громоздко для больших множеств и неприменимо для бесконечных множеств)

2) с помощью характеристического свойства множества. (Свойство, которым обладают все элементы этого множества, и только они).

Запись А = {х| Р (х)} (обозначение элемента | свойство, которым обладают элементы данного множества.

Пример:1. М={х| x€ N, x <6} множество натуральных чисел меньших 6.

или М={х| x€ N& x <6}

2.множество А точек М плоскости , лежащих на окружности радиуса r с центром в точке О А={М| |OM| = r}.

Равенство множеств

Два множества равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают А=В

Пример: А= {1²,2²,3²,4²} и В = { √1,√16,√81,√256} равны, т.к. состоят из чисел 1,4,9 и 16.

Доказательство равенства каких-либо множеств состоит из двух частей:

1. если х € А, то х € В;

2. если х € В, то х € А

Подмножество

Множество А есть подмножество множества В, если каждый элемент А является элементом В. В- надмножество А.

Говорят: множество А включено во множество В или множество В включает множество А.

Обозначение:

Для доказательства включения требуется проверить утверждение если х € А, то х € В

Пусть А – множество красных яблок, В- множество всех яблок. Тогда

А В:ведь красное яблоко- это и просто яблоко, поэтому х € А, то х € В

Пустое множество есть подмножество любого множества.

Включение множеств обладает следующими свойствами:

1 Каждое множество является подмножеством самого себя.

2.Два множества равны, если они являются подмножествами друг друга.

3.

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними , рисуют геометрические фигуры , которые находятся между собой в этих отношениях. Диаграммы Эйлера –Венна делают наглядными различные утверждения , касающиеся множеств. (Эйлер –швейцарский математик, Джон Венн – английский математик.)

Множество А является подмножеством множества В.

Множества А и В не имеют общих элементов.

Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и того же множества I. Такое множество называют универсальным.

Например: А – множество студентов первого курса техникума, В – множество студенток этого техникума, С – множество спортсменов этого техникума, в качестве универсального множества можно взять множество всех студентов данного техникума, потому что:

На диаграммах Эйлера – Венна универсальное множество часто изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами.

Количество подмножеств конечного множества

Множество всех подмножеств множества М называется множеством-степенью множества М или булеаном и обозначается Р(М) или 2^М

Р(М) = {В|В М}

Если конечное множество состоит из n элементов, то множество –степень или булеан состоит из 2ⁿ элементов.

Пример: А={1;2;3} Тогда множество –степень состоит из множества А, пустого множества, трех одноэлементных и трех двухэлементных подмножеств множества А:

Р(А) = {А,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},Ø}.