Подписано в печать . Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная.
Офсетная печать. Усл. печ. л. 2,2 Уч.-изд. л. 2,2. Тираж 50 экз. Заказ
Брянский государственный технический университет.
241035, Брянск, бульвар им. 50-летия Октября, 7. БГТУ 54-90-49.
Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16.
Системы счисления, применяемые в цифровых устройствах.
В позиционных СС "вес" каждого разряда зависит от его позиции в числе. К числу непозиционных относится "римская" СС, например число – XVII.
Любое неотрицательное число в позиционной системе счисления (СС) может быть представлено в виде:
где D - десятичный эквивалент числа, Ci - значение i-гo разряда, b -основание системы счисления, bi – вес i-гo разряда, n число разрядов целой части числа.
В вычислительной технике наиболее распространены: двоичная (BIN), десятичная (DEC), шестнадцатеричная (HEX) и непозиционная двоично-десятичная (BCD) системы счисления. В BCD системе вес каждого разряда равен степени 10, как в десятичной системе, а каждая цифра i-гo разряда кодируется 4-мя двоичными цифрами.
Восьмеричная СС (ОСТ) применяется реже. В 16-ной системе счисления цифры от 0 до 9 совпадают с десятичными, а для ЦИФР больше 10 используются буквы латинского алфавита : А(а) = цифра 10, В(b) =11, С(с) =12, D(d) = 13, Е(е) =14. Первые 16 чисел представлены в таблице 1.
Для перевода числа из двоичной системы в 16-ную, его необходимо разбить начиная справа на группы по 4 двоичных цифры и каждую группу представить 16 - ной цифрой из таблицы. Для обратного перевода каждая HEX цифра заменяется четверкой двоичных, незначащие нули слева отбрасываются. Двоично-десятичное число можно записывать и десятичными цифрами, например 1997, и двоичными – 0001 1001 1001 0111. Каждое десятичное число можно представить в виде BCD, например 19(DEC) = 19(BCD), но их двоичные представления не равны: 19(DEC) = 10011(BIN), a 19(BCD) = 1 1001(BIN). He каждая запись из нулей и единиц имеет двоично-десятичный эквивалент. Например, 11001001(BIN) = ?(BCD) = C9(HEX) = 201(DEC), т.к. десятичной цифры 12 = 1100 не существует!
8,2 Основные положения алгебры логики. Законы, основные логические условные обозначения, таблицы функционирования.
Как уже было отмечено выше, функционирование логических элементов можно описать логическими (булевыми) функциями. В свою очередь логические функции можно определить (задать), перечислив все условия, при которых функция принимает значение лог.1, т.е. по условиям истинности, так и по условиям ложности (значения лог.0). Аналогично, рассматривая работу логического (какого-либо) элемента, можно перечислить все условия, при которых на выходе появляется сигнал лог.1, либо условия, когда на выходе элемента будет присутствовать сигнал лог.0. В этом заключается принцип дуальности (двойственности) в описании логических устройств.
В технике, при описании работы различных устройств, широко используется понятие «активного», в противоположность ему, «неактивного» значения какого-либо сигнала. При этом под активным значением (уровнем) сигнала понимается такое действие, которое вызывает на выходе устройства желаемое действие или, по-другому, устройство оказывает активные действия на внешние устройства. Наоборот, неактивные действия оказывают пассивное действие на внешние устройства. Так, в логике обычно акцентируют внимание на истинности высказываний, поэтому истинность высказываний следует считать по умолчанию их активным значением. Аналогично, при описании технических устройств можно акцентировать внимание на условиях их «срабатывания» либо на условиях «несрабатывания».
Соглашения, при которых сигнал лог.1 считается активным, называют соглашениями «положительной» логики. Наоборот, когда за активное значение принимается уровень лог.0, такие соглашения называют соглашениями «отрицательной» логики. Как правило, за сигнал лог.1 принимается более «высокий» уровень, а за сигнал лог.0 «низкий» уровень сигналов. Например, при использовании ИМС ТТЛ сигналом лог.1 считается напряжение не менее +2,4 В, а сигналом лог.0 - напряжение больше нуля, но не больше 0,4 В. Это - стандартные уровни сигналов в устройствах на ИМС ТТЛ.
Описания, составленные при соглашениях положительной логики и при соглашениях отрицательной логики, логически эквивалентны, так как описывают одно и тоже устройство. Однако сложность технической реализации логических устройств в зависимости от выбранного соглашения может оказаться существенно различной. Поэтому всегда возникает проблема выбора способа описания с целью получения наиболее простого технического решения.
Как уже было сказано, основными функциями алгебры логики являются функции двух переменных. Можно составить эти функции чисто формально, придавая аргументам всевозможные значения (комбинации их значений), и затем придать функциям так же всевозможные значения. Поскольку и аргументы и функции могут принимать только два значения, то нетрудно определить число комбинаций, составленных из аргументов, и число всех возможных функций. Пусть число аргументов будет n, а количество их комбинаций N, тогда
N = 2n. (1.1)
Число же всевозможных логических функций тогда можно рассчитать по формуле
M = 2N = . (1.2)
Как видно из формулы (1.2), число булевых (логических) функций быстро растёт с увеличением числа аргументов n. Так, при n =2 получим N=22=4, а М=24=16, т.е. шестнадцать логических функций от двух аргументов.
В табл. 1.3 приведены названия и обозначения функций, их значения на том или ином наборе значений аргументов a и b, а также алгебраические выражения этих функций в дизъюнктивной совершенной нормальной форме (ДСНФ) и конъюнктивной совершенной нормальной форме (КСНФ).
Из анализа этой таблицы следует, что среди множества приведённых функций есть функции-константы «нулевая» и «единичная», функции «повторения» и «инверсии» (функции НЕ) входных переменных a и b, фактически являющиеся функциями одного аргумента, и есть функции, которые существенно зависят от двух аргументов.
В приведённых алгебраических выражениях знаком + (плюс) обозначена операция логического сложения (дизъюнкции), чертой над переменной или над логическим выражением обозначена операция инверсии, а символы логического умножения (произведения) пропущены.
Логические функции двух аргументов
№ п/п
Название функции
Значения функции при значениях аргументов
Обозначение
Алгебраические формы функций
а b
ДСНФ
КСНФ
V0
Нулевая
-
V1
Запрет b
ab
V2
Конъюнкция (И)
a&b или
ab
ab
V3
Повторение а
а
V4
Запрет а
ba
V5
Неравнозначность
aÅb
V6
Повторение b
b
V7
Дизъюнкция (функция ИЛИ)
a+b
a+b
V8
Пирса (ИЛИ-НЕ)
V9
Инверсия b (НЕ )
V10
Равнозначность
V11
Импликация b
b®a
V12
Инверсия а
V13
Шеффера (И-НЕ)
V14
Импликация а
a®b
V15
Единичная
-
Функции-константы фактически выражают независимость от аргументов и, в то же самое время, их можно считать «функциями» от большого числа аргументов. Обратите внимание, нулевая функция не имеет ДСНФ, поскольку она никогда не принимает значение лог.1, а единичная функция не имеет КСНФ, так как она никогда не принимает значение лог.0. Отсюда следует вывод, что ДСНФ соответствует описанию (заданию) логических функций по условиям истинности (по лог.1), а КСНФ - по условиям ложности (по лог.0). Любая логическая функция, кроме функций-констант, имеет как ДСНФ, так и КСНФ. Это соответствует тому, что любое логическое устройство (сколь сложно оно ни было бы) можно описать по условиям срабатывания и по условиям несрабатывания.
Значения функций «повторения» и «инверсии» (V3, V6, V9, V12) либо повторяют значения одного из аргументов, либо принимают противоположные (инверсные) ему значения. Поэтому они и получили такие названия.
Функции инверсии чаще всего называют функциями НЕ. Эти функции реализуются логическими элементами НЕ (или инверторами). Функции повторения реализуются повторителями. Принято говорить, что функции инверсии и повторения «несущественно» зависят от второго аргумента, хотя их можно представить как функции двух, трёх и большего числа аргументов.
В технике функции «Неравнозначности» и «Равнозначности» более известны под названиями «сумма по модулю два (по mod 2)» и «инверсия суммы по mod 2» соответственно. Функции Шеффера и Пирса, соответственно, известны под названиями «инверсия логического произведения» (функции И-НЕ) и «инверсии логической суммы» (ИЛИ-НЕ). Эти функции реализуются одноимёнными по названию логическими элементами.
В булевой алгебре и в дальнейшем в логических выражениях принято обозначать функции прописными буквами латинского алфавита, а аргументы функций - строчными (малыми) буквами того же алфавита.
где D - десятичный эквивалент числа, Ci - значение i-гo разряда, b -основание системы счисления, bi – вес i-гo разряда, n число разрядов целой части числа.
. (1.2)
