Тест проверки равномерности закона распределения

Данный тест строится на основе применения критерия согласия . Пусть имеется выборка e₁, e₂, ¼,e_N псевдослучайных чисел в интервале (0,1). Интервал (0, 1) изменения случайной величины e разбивается на m интервалов х_j, j = 1, 2, ¼, m, очевидно, что х_m = 1, а нижняя граница первого интервала равна нулю. Обычно принимают m = 10 ¸ 20.

Далее производится определение вероятности p_j попадания случайной величины e в j-й интервал. Для равномерного на интервале (0, 1) закона распределения p_j = x_j - x_j-1. Затем определяется величина ν_j, j = 1, 2, ¼ ,m - число попаданий случайной величины e в j-й интервал и подсчитывается величина

распределенная по закону с (m-1) степенью свободы. По вычисленному значению и числу степеней свободы с помощью таблицы, приведенной в приложении А, можно определить вероятность того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение. Если эта вероятность превышает некоторой уровень значимости a, то гипотеза о равномерном законе распределения случайной величины e не опровергается результатами эксперимента.

Дополнительно можно подсчитать эмпирическое математическое ожидание

(15)

и эмпирическую дисперсию

(16)

и сравнить их с теоретическими значениями соответственно 0.5 и 1 / 12.

Для математического ожидания можно для заданной доверительной вероятности b определить также доверительный интервал:

(17)

где d определяется из уравнения:

2Ф = b. (18)

Значения интеграла вероятностей Ф (х) приведены в приложении Б.

Полезно бывает сравнить теоретическую функцию распределения и теоретическую плотность распределения случайной величины e с экспериментально полученными функцией распределения и гистограммой частот.

Известно, что для случайной величины, равномерно распределенной на интервале (0, 1):

По известной выборке из N значений случайной величины e экспериментальная функция распределения определяется следующим образом:

где равно количеству значений e < х.

Гистограмма частот, являющаяся аналогом плотности распределения, строится следующим образом. Весь интервал (х_min, х_max) от наименьшего значения х_min до наибольшего значения х_max полученной выборки случайной величины разбивается на q равных промежутков длины h. Затем определяется число значений n_i выборки, попавших в i-ый промежуток, после чего для каждого 1 £ i £ q строится прямоугольник с основанием на i-ом промежутке и высотой (n_i /N)/h. Полученный чертеж называется гистограммой частот или просто гистограммой.

Можно использовать метод проверки по косвенным признакам. Суть его сводится к следующему. Генерируемая последовательность разбивается на две последовательности

x₁, x₃,…,x_2i-1;

x₂, x₄,…,x_2i

Если выполняется условие

то фиксируется наступление некоторого события и в счетчик добавляется 1. После N/2 опытов в счетчике будет некоторое число k<N/2. Геометрически данное условие означает, что точка (x_2i-1, x_2i) находится внутри четверти круга радиусом 1. Теоретически вероятность попадания этой точки в четверть круга

p = S_{1/4круга}/S_{квадрата}=π/4.

Если числа последовательности равномерны, то в силу закона больших чисел при больших N относительная частота 2k/N стремится к π/4.

Тесты проверки независимости последовательности