Подписано в печать 11.10.2002. Формат 60х84/16. Бумага для множительных аппаратов. Печать плоская. Усл. печ.0,87. Уч.-изд. л. 0,93.Тираж 250 экз. Заказ № 5258.
«Российский государственный профессионально-педагогический университет», Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.
Ризограф РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра кибернетических систем
Ковалёв П. И.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ»
Направление – 220200 (дневная форма обучения), 651900 (заочная форма обучения, заочная сокращённая форма обучения) Автоматизация и управление
Квалификация (степень) – бакалавр техники и технологии. Срок обучения – 4 года
Специальность – 220201 (дневная форма обучения) 210100 (заочная форма обучения, заочная сокращённая форма обучения) Управление и информатика в технических системах
Квалификация – инженер. Срок обучения – 5 лет
Форма обучения: очная, заочная, заочная сокращённая
Лекции 36 / 12 / 12 (час.)
Практические занятия - не предусмотрены
Лабораторные занятия 36 / 12 / 12 (час.)
Самостоятельная работа – 88 (час.)
Работа без преподавателя – 79,2 (час.)
Работа со студентом – 3,5 (час.)
Работа с группой – 5,3 (час.)
Экзамен 6 / 7 / 5 (семестр)
Зачёт - не предусмотрен
Курсовая работа – 6 / 7 / 5 (семестр)
Контрольная работа (заочная форма обучения, заочная сокращённая форма обучения)
Тюмень 2012
ВЫПИСКА
ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ ДИПЛОМИРОВАННОГО СПЕЦИАЛИСТА 220200 АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ
Обобщённые задачи профессиональной деятельности инженера по направлению Автоматизация и управление
научно-исследовательская деятельность:
построение математических моделей технических систем, технологических процессов и производств как объектов автоматизации и управления;
создание и совершенствование методов моделирования, анализа и синтеза автоматических и автоматизированных систем контроля и управления объектами различной физической природы, в том числе с использованием современных компьютерных технологий.
Квалификационные требования
Для решения профессиональных задач инженер:
умеет осуществлять сбор, обработку и систематизацию научно-технической информации по заданному направлению профессиональной деятельности, применять для этого современные информационные технологии;
способен изучать специальную литературу, анализировать достижения отечественной и зарубежной науки и техники в области профессиональной деятельности;
способен взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке математических моделей объектов и процессов различной физической природы
ТРЕБОВАНИЯ К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПОДГОТОВКИ ДИПЛОМИРОВАННОГО СПЕЦИАЛИСТА ПО НАПРАВЛЕНИЮ «АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ»
Индекс
Наименование дисциплин и их основные разделы
Всего часов
ОПД
ОПД.Ф.00
ОПД.Ф.09
Основные разделы
ОБЩЕПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Федеральный компонент
Моделирование систем
классификация моделей и виды моделирования; примеры моделей систем; основные положения теории подобия; этапы математического моделирования; принципы построения и основные требования к математическим моделям систем; цели и задачи исследования математических моделей систем; общая схема разработки математических моделей; формализация процесса функционирования системы; понятие агрегативной модели; формы представления математических моделей; методы исследования математических моделей систем и процессов; имитационное моделирование; методы упрощения математических моделей; технические и программные средства моделирования.
Требования к профессиональной подготовке выпускника:
Инженер по автоматизации и управлению должен:
уметь:
строить математические модели технических систем;использовать математическое моделирование и системы автоматического проектирования при создании и совершенствовании программно-технических средств и систем автоматизации и управления.
ВЫПИСКА ИЗ РАБОЧЕГО УЧЕБНОГО ПЛАНА ДИСЦИПЛИНЫ «МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ»
Дисциплина «Моделирование систем» включена в федеральный компонент блока общепрофессиональных дисциплин, индекс дисциплины - ОПД.Ф.09.
Цели дисциплины «Моделирование систем» - научить студентов:
строить математические модели технических систем, технологических процессов и производств как объектов автоматизации и управления;
создавать и совершенствовать методы моделирования, анализа и синтеза автоматических и автоматизированных систем контроля и управления объектами различной физической природы, в том числе с использованием современных компьютерных технологий.
Основные разделы дисциплины:
Методологические основы моделирования систем;
Классификация моделей и виды моделирования;
Примеры моделей систем;
Основные положения теории подобия;
Этапы математического моделирования;
Принципы построения и основные требования к математическим моделям систем;
Цели и задачи исследования математических моделей систем;
Общая схема разработки математических моделей;
Формализация процесса функционирования системы;
Понятие агрегативной модели;
Формы представления математических моделей;
Методы исследования математических моделей систем и процессов;
Имитационное моделирование;
Методы упрощения математических моделей;
Технические и программные средства моделирования.
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ
Объектом называется часть реального или воображаемого мира, на который направлена деятельность субъекта - отдельного индивида, группы людей, коллектива или общества в целом. Если в ходе эксперимента измеряют ток в электрической цепи, то она является реальным объектом исследования; проектируемая электрическая цепь - воображаемый объект. Объектами могут быть не только материальные предметы, но также процессы (производственный процесс, технологический процесс, процесс документооборота), свойства (электропроводность), отношения (отношения между работниками в трудовом коллективе), формы мышления (понятия) и т.д.
Метод - это способ организации человеческой деятельности. Научный метод исследования включает в себя способы исследования объектов, систематизацию, корректировку новых и полученных ранее знаний. Один из основных принципов научного метода - отказ от некритического признания верным того или иного положения только потому, что так считает какой-то авторитет. Качество (успешность, эффективность) метода проверяется практикой, решением научно-практических задач. Признаками научного метода исследования обычно считают непредвзятость исследования, объективность, воспроизводимость. Другими словами, результат применения метода может быть подтверждён другим компетентным и непредвзятым исследователем.
Моделированием называется любой метод исследования, позволяющий получить информацию о некоторой системе (оригинале модели) путём изучения другой системы (модели).
Модель системы предназначена для того, чтобы заменить её в ходе исследования или выбора технического решения. Функции модели: исследование модели помогает понять структуру системы, характер и закономерности протекающих в ней процессов, предсказать её поведение, принять правильное техническое решение в ходе проектирования и разработки системы, выбрать оптимальный режим её эксплуатации.
КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ И ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Классификацией называется любой метод исследования, в ходе применения которого объекты, выделенные в предметной области, распределяются по классам, семействам, разрядам, видам, группам в зависимости от их общих признаков. Примером может служить классификация живых организмов.
В настоящее время отсутствует общепринятая классификаций моделей и видов моделирования. Различают мысленное и реальное моделирование: в ходе мысленного моделирования субъект строит модель системы в своём сознании, реальная же модель существует в виде материального объекта. Графические модели используют графические образы объектов моделирования, на основе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте - макеты, рисунки, фотографии и т. д.
Математическое моделирование ставит в соответствие реальной или воображаемой системе математические конструкции, это теоретический метод исследования. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, занимаются математическим моделированием: заменяют реальный или воображаемый объект его математической моделью и затем её изучают. Математическое моделирование является частным случаем символьного моделирования - описания системы с помощью какого-то языка.
Статическая модель характеризует состояние объекта в фиксированный момент времени, динамическая модель отражает изменение состояний объекта с течением времени. В дискретных динамических моделях состояния системы изменяются через определённые промежутки времени, в непрерывных динамических моделях изменение состояний системы происходит непрерывно. Детерминированные модели отображают детерминированные процессы: предполагается, что состояние модели в начальный момент времени однозначно определяет все последующие состояния, случайные воздействия на систему отсутствуют. Такие случайные воздействия учитывают стохастические модели.
Как правило, прямые экспериментальные исследования оригинала модели осложняются целым рядом факторов. К ним относятся слишком большие или слишком малые размеры системы, слишком быстрая (медленная) скорость процесса, высокая (низкая) температура, отсутствие оригинала модели (когда моделируемая система только проектируется). Основой натурного (физического) моделирования служат эмпирические методы исследования - наблюдение, измерение, эксперимент, они направлены на изучение чувственно воспринимаемых объектов. В ходе натурного моделирования процессы, протекающие в модели и её оригинале качественно однородны. Примерами натурного моделирования могут служить эксперименты с моделями самолётов в аэродинамических трубах и с моделями судов в опытовых бассейнах. Оно применяется в тех случаях, когда целью исследования является не выяснение общих физических закономерностей,а детальное изучение вполне конкретного протекающего в системе с определёнными геометрическими и физическими характеристиками при заданных режимных условиях.
При аналоговом моделировании физические процессы в модели и её оригинале качественно различны, однако между ними существует определённая аналогия (сходство). Например, постоянный электрический ток в проводнике можно представить с помощью течения жидкости по трубе. Физическая географическая карта является аналоговой моделью поверхности Земли, на ней с помощью цвета выделены особенности рельефа местности, кружочками обозначены населённые пункты и т. п.
РАЗМЕРНОСТЬ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Результат измерения значения величины x с помощью единицы измерения a можно представить в виде отношения X = x / a, где X - вещественное число. Если единицу измерения a увеличить в k раз, то значение результата измерения X уменьшится в k раз: если длина детали составляет 12 сантиметров и мы выбирем в качестве единицы измерения метр, то единица измерения увеличивается в 100 раз и численное выражение длины детали будет равно 0,12 метра – число 0,12 в 100 раз меньше, чем число 12.
Принцип абсолютности отношений: отношение X / Y результатов измерений любых двух значений одной и той же величины не зависит от выбора единицы измерения. Если длина детали A – 12 сантиметров, а длина детали B – 17 сантиметров, то отношение их длин 12 / 17 будет оставаться неизменным, в каких бы единицах мы не выражали эти длины.
Для каждой физической величины можно было бы установить единицу произвольно, независимо от единиц других величин. Однако это привело бы к появлению в формулах 'неудобных' числовых коэффициентов. Поэтому произвольно определяются только единицы небольшого числа величин. Эти единицы называются основными, а соответствующие величины - первичными. Единицы остальных (вторичных) величин - производные единицы - определяются с помощью формул, связывающих эти величины с первичными. При таком определении единиц измерения формулы принимают более простой вид, а совокупность единиц образует определённую систему.
Существует несколько систем, отличающихся выбором основных единиц измерений. Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам с 1 января 1982 г. в Советском Союзе введён ГОСТ 8.417-81 «Единицы физических величин». Согласно этому ГОСТу обязательному применению подлежат единицы Международной системы (СИ), а также десятичные кратные и дольные от них.
В качестве основных в СИ приняты семь единиц: длины - метр (обозначение м), массы - килограмм (кг), времени - секунда (с), силы электрического тока - ампер (А), термодинамической температуры - кельвин (К), силы света - кандела (кд), количества вещества - моль (моль).
Скорость равномерно движущегося тела равна отношению пройденного расстояния ко времени движения тела: v = s / t или v = st-1. Пусть соотношение, связывающее вторичную величину w с первичными величинами x, y,..., z выглядит так: w = xa yb... zc , где a, b,...,c – вещественные числа (положительные или отрицательные), которые называются размерностями величины w относительно величин x, y,..., z соответственно. В том случае, когда первичная величина u не входит в формулу, определяющую величину w, размерность w относительно u равна 0. Если размерность вторичной величины w относительно первичной величины u равна r, то при увеличении единицы измерения величины u в k раз единица измерения величины w увеличивается в kr раз.
Пример. Размерность площади относительно длины равна 2, километр больше метра в 1000 раз, следовательно, квадратный километр в 1000000 раз больше квадратного метра.
Принята особая символическая форма записи размерностей вторичных величин. Обозначение вторичной величины заключают в прямые скобки, а символами первичных величин служат заглавные буквы: L – длина, M – масса, T – время, Θ (заглавная греческая буква 'тета' ) – термодинамическая температура, I – сила электрического тока, J – сила света, N – количество вещества. Размерность скорости будет равна L T-1 : [ скорость ] = L T-1. Ускорение равно отношению приращения скорости ко времени: [ускорение] = [ скорость] / [время] = L T-1 / T = L T-2 . В силу второго закона Ньютона сила равна произведению массы на ускорение, следовательно, [ сила ] = M L T-2 . Работа равна произведению силы на путь, значит, [ работа ] = M L2 T-2
ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим резервуар, к которому подключён насос, выкачивающий из него жидкость. Если в начальный момент времени в резервуаре было a кубических метров жидкости и насос выкачивает из него b кубических метров жидкости в секунду, то в момент времени t в резервуаре останется a – b t кубических меторв жидкости. В момент времени a / b насос выкачает всю воду из резервуара, поэтому объём жидкости v в резервуаре в момент времени t равен a – b t, когда t ≤ a / b и равен нулю, когда t > a / b.
Величины v и t являются переменными, их значения изменяются в процессе функционирования системы, состоящей из резервуара и насоса: объём жидкости в резервуаре v характеризует состояние системы в момент времени t. Значение величины b для данной системы остаётся неизменным, но может принимать другие значения при переходе к аналогичной системе. Такие величины называются параметрами системы. Точнее, параметром будет величина b, а Величина a является начальным значением, она задаёт состояние системы в начальный момент времени. Выполняя алгебраические операции над параметрами и начальными значениями, получают новые (расчётные) параметры. В нашей задаче отношение a / b (величина промежутка времени, в течение которого насос откачивает жидкость из резервуара) представляет собой расчётный параметр. Аналогичная система состоит из таких же компонентов (резервуара и насоса), они выполняют такие же функции (насос откачивает жидкость из резервуара), но значения параметров и начальных значений у неё могут быть другими.
Параметры системы следует отличать от постоянных величин (констант). Значение константы во всех аналогичных системах одно и то же. Длина окружности и её диаметр – это параметры окружности, а отношение длины окружности к её диаметру – число 'пи' – постоянная величина. Эта величина является безразмерной. Размерности безразмерных вторичных величин относительно любых первичных величин нулевые, значения безразмерных вторичных величин не зависят от выбора единиц измерения.
Определим размерности используемых величин: , [ a ] = [объём], [ b ] = [объём] / [время], [ v ] = [объём], [ t ] = [время]. Таким образом, нам требуются лишь две единицы измерения – объёма и времени. Ими могут служить не только кубические метры и секунды. Размерность величины a совпадает с размерностью объёма, размерность b – отношение объёма ко времени, следовательно, размерностью частного a / b является время. Будем использовать значения параметров a и a / b в качестве новых единиц измерения объёма и времени соответственно. Чтобы найти значение физической величины в новой системе единиц измерения, делим её значение в исходной системе единиц измерения на значение новой единицы в исходной системе единиц измерения. Значения объёма V и времени T в новой системе единиц измерения, связанной с задачей, выражаются через значения объёма v и времени t в исходной системе единиц измерения с помощью формул:
V = v / a, T = t / ( b / a ) = t b / a
Здесь буква 'T' обозначает не символ размерности времени, а значение момента времени в системе единиц измерения, связанных с задачей; обратно:
v = V a, t = T a / b .
Подставим в формулу, выражающую зависимость объёма жидкости в резервуаре от времени вместо величин v, t их выражения через V, T объём жидкости v = V a в резервуаре в момент времени t = T a / b равен a – b T a / b, когда T a / b <= a / b и равен нулю, когда T a / b > a / b:
V a = a – b T a / b, когда T a / b <= a / b V a = 0, когда T a / b > a / b:
Выполнив сокращения, получим: V = 1 – T, когда T < = 1 и V = 0, когда T > 1.
Пусть в аналогичной системе насос выкачивает из другого резервуара b', кубических метров жидкости в секунду и в начальный момент времени в этом резервуаре было a' кубических метров жидкости. Единицами измерения объёма и времени во второй системе единиц измерения, связанной с задачей, будут величины a'и a' / b'. В момент времени tв первом резервуаре находилось v кубических метров жидкости, в системе единиц измерения, связанной с задачей, это количество равно V , V = v / a, T = t b / a. Формулы, определяющие изменение количества жидкости в системах единиц измерения, связанных с задачей, для двух резервуаров одинаковы, следовательно, в момент времени T = t b / a во второй системе единиц измерения, связанной с задачей, количество жидкости во втором резервуаре равно тому же самому значению V. Для второго резервуара связь между значениями величин в исходной системе единиц измерения и в системе единиц измерения, связанных с задачей, выглядит так:
V = v' / a' T = t' b' / a';
v' = V a' t' = T a' / b', ,
поэтому в момент времени t' = T a' / b' = t a' b / ( a b' ) количество жидкости во втором резервуаре будет равно V a' = v a' / a. Моменты времени t и t a' b / ( a b' ) называются соответствующими. Мы доказали, что количество жидкости во втором резервуаре в момент времени t', соответствующий моменту времени t, получается умножением количества жидкости в первом резервуаре в момент времени t на постоянный коэффициент a' / a. Переход от величины объёма v, характеризующей состояние первого резервуара в произвольный момент времени t, к величине v', характеризующей состояние второго резервуара в соответствующий момент времени, можно представить в таком виде:
v →V = v / a → v' = V a' = v a' / a.
t → T = t b / a → t' = T a' / b' = t a' b / ( a b' )
Качественно однородные физические процессы, протекающие в двух системах, называются подобными, если значения физических величин в соответствующих точках систем в соответствующие моменты времени пропорциональны, причём коэффициенты пропорциональности не зависят от времени. Для определения соответствующих точек систем и соответствующих моментов времени переходят от исходной системы единиц измерения к системам единиц измерения, связанным с задачей. Если уравнения, описывающие протекание процессов в обеих системах в при таком переходе становятся одинаковыми, то соответствующими точками будут те точки, координаты которых в системах единиц измерения, связанных с задачей, совпадают; аналогично устанавливается соответствие между моментами времени.
Рассмотрим следующую задачу. Из пунктов A, B, расстояние между которыми равно d км одновременно выходят два туриста и начинают двигаться навстречу друг другу, первый турист идёт со скоростью u км/час, второй турист идёт со скоростью v км/час. Требуется определить зависимость расстояния между туристами от времени.
Положение туриста в момент времени t будем описывать с помощью величины, равной расстоянию туриста от пункта A со знаком плюс, если турист находится с той стороны пункта A, где располагается пункт B и со знаком минус, если турист и пункт B находятся по разные стороны от пункта A. Тогда положение первого туриста в момент времени t равно u t, положение второго туриста в момент времени t равно d – v t, а расстояние между ними равно абсолютной величине разности этих значений: s = | u t - ( d – v t ) | = | ( u + v ) t – d |
Размерностью величин d, s служит длина, размерностью t – время, размерность u и v равна отношению длины ко времени. Для измерения этих величин нам потребуется лишь две единицы измерения – единицы длины и времени. В качестве 'естественной' единицы длины, связанной с задачей, можно взять расстояние d между пунктами A, B, а в качестве единицы измерения времени – одно из отношений d / u, d / v. Будем измерять время с помощью величины d / u:
S = s / d, T = t u / d
s = S d, t = T d / u
Тогда в системе единиц измерения, связанной с задачей, в момент времени t = T d / u ( t в часах) расстояние между туристами равно | ( u + v ) T d / u - d | километров, в системе единиц измерений, связанных с задачей оно равно
| ( u + v ) T d / u - d | / d
или
| ( 1 + v / u ) T - 1 |.
Теперь уравнение
S = | ( 1 + v / u ) T - 1 |,
выражающее связь между переменными величинами в системе единиц измерения, связанных с задачей, содержит расчётный параметр v / u – отношение скоростей. Следовательно, в подобной системе отношение скоростей движения туристов должно быть таким же, как в данной системе.
В общем случае система характеризуется набором n параметров, причём размерности k из них взаимно независимы, т. е. размерность одного из них нельзя получить из размерностей остальных с помощью операций умножения и деления. Тогда с помощью этих же операций из параметров системы можно составить n – k взаимно независимых безразмерных параметров, которые называются критериями подобия (взаимная независимость параметров означает, что между ними нет функциональной зависимости, которая сохранялась бы во всех аналогичных системах). Это утверждение называется П-теоремой (читается 'пи теорема').
Для того, чтобы рассчитать характеристики проектируемой технической системы, выполнить её компьютерное моделирование, надо построить её математическую модель. Однако, функционирование реальной технической системы, как правило, не удаётся адекватно описать с помощью системы уравнений. Тогда прибегают к натурному или полунатурному моделированию. Для того, чтобы результаты, полученные в ходе исследования можно было перенести на систему-оригинал модели, процессы протекающие в модели и в её оригинале должны быть подобными. Признаком подобия модели и её оригинала служат равенства соответствующих критериев подобия. Результаты исследования модели представляют в системе единиц измерения, связанных с задачей, в этой системе единиц измерения значения величин для модели и её оригинала должны быть одинаковыми. Чтобы получить значения величин для оригинала модели, надо выполнить переход в ту систему единиц измерения, в которой заданы исходные величины.
ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Как правило, процесс достижения какой-либо цели делится на этапы. Для каждого этапа следует чётко сформулировать задачи, которые должны быть решены, определить требующиеся исходные данные, инструменты, материалы, средства оценки полученных результатов. Это позволяет эффективно использовать ресурсы и контролировать ход выполнения работ.
На первом этапе моделирования (стадии макропроектирования модели, этапе постановки задачи) моделируемая система отделяется от внешней среды, формулируются цели моделирования, требования, предъявляемые к модели, выбирается метод моделирования и критерии, позволяющие оценить её адекватность.
На втором этапе (стадии микропроектирования) существенные характеристики оригинала модели отделяются от несущественных и формулируются общие законы, которым подчиняются процессы, протекающие в моделируемой системе.
Дальнейшие действия в значительной степени зависит
от конкретного метода моделирования. На третьем этапе математического моделирования выбирают подходящие математические конструкции, строят модель и формулируют математическую задачу. Математической моделью может быть система уравнений, описывающая процессы, протекающие в исследуемой системе, а математической задачей - решение этой систем.
На четвёртом этапе математического моделирования решают поставленную математическую задачу. Обычно существует несколько путей её решения. В этом случае для каждого способа надо оценить соотношение качества результата, который будет получен,и объём требуемых ресурсов (стоимость программного и аппаратного обеспечения, затраты времени, заработную плату исполнителей и т. п.) и выбрать оптимальный.
На пятом этапе моделирования определяют, насколько ответ задачи согласуется с данными, полученными в ходе экспериментов и выполняют корректировку модели.
На шестом этапе осуществляется перенос результатов исследования модели на её оригинал. Седьмой этап - принятие соответствующих технических решений
ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Д1. Частица (материальная точка) падает вертикально вниз в безвоздушном пространстве под действием постоянной силы тяжести. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д2. Шарик двигается вдоль вертикальной оси Oz под действием постоянной силы тяжести, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости шарика. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д3. Шарик двигается в воде вдоль вертикальной оси Oz под действием постоянной силы тяжести, сила сопротивления воды пропорциональна скорости шарика. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д4. Частица (материальная точка) двигается вдоль горизонтальной оси Ox, на неё действует возвращающая сила, пропорциональная её удалению от начала координат, сила сопротивления движению частицы отсутствует, масса частицы равна m. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д5. Частица (материальная точка) двигается вдоль горизонтальной оси Ox, на неё действует возвращающая сила, пропорциональная её удалению от начала координат, и сила трения, пропорциональная весу частицы, масса частицы равна m. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д6. Две частицы, соединённые друг с другом пружиной, двигаются вдоль вертикальной оси Oz. В произвольный момент времени t первая частица находится в точке с аппликатой z = f ( t ), где f ( t ) - заданная функция. Масса второй частицы равна m, масса пружины равна нулю; сила, с которой пружина действует на частицы, пропорциональна расстоянию между частицами. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д7. Мяч бросают со скоростью v0 под углом α к горизонту и он двигается в однородном поле силы тяжести. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д8. Мяч бросают со скоростью v0 под углом α к горизонту и он двигается в однородном поле силы тяжести. Сопротивление воздуха пропорционально скорости мяча. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д9. Частица (материальная точка) двигается вдоль горизонтальной плоскости Oxy, на неё действует возвращающая сила, пропорциональная её удалению от начала координат. Сила сопротивления движению частицы отсутствует, масса частицы равна m. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д10. Частица (материальная точка) двигается вдоль горизонтальной плоскости Oxy, на неё действует возвращающая сила, пропорциональная её удалению от начала координат и сила трения, пропорциональная весу частицы. Масса частицы равна m. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д11. Электрическая цепь состоит из источника постоянной электродвижущей силы, катушки (без сердечника), сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д12. Электрическая цепь состоит из источника постоянной электродвижущей силы, конденсатора, сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д14. Электрическая цепь состоит из источника постоянной электродвижущей силы, катушки (без сердечника), конденсатора, сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д15. Электрическая цепь состоит из источника электродвижущей силы, изменяющейся по синусоидальному закону, катушки (без сердечника), сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д16. Электрическая цепь состоит из источника электродвижущей силы, изменяющейся по синусоидальному закону, конденсатора, сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Д17. Электрическая цепь состоит из источника электродвижущей силы, изменяющейся по синусоидальному закону, катушки (без сердечника), конденсатора, сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Задание 1.
Частица (материальная точка) падает вертикально вниз в безвоздушном пространстве под действием постоянной силы тяжести. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Общее описание системы
Частица (материальная точка) падает вертикально вниз в безвоздушном пространстве под действием постоянной силы тяжести.
Структура системы
Система состоит из частицы, падающей в безвоздушном пространстве. На неё действует сила притяжения Земли.
Выбор системы координат
Выберем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с поверхностью Земли, ось Oz была направлена вертикально вверх, частица двигается вдоль оси Oz.
Величины, характеризующие состояние системы
Состояние системы в момент времени t описывается её скоростью v ( t ). Размерность скорости: [ v ] = L T-1, в системе единиц СИ скорость измеряется в метрах на секунду (м/с).
Параметры системы:
m – масса частицы, [ m ] = M.
В силу второго закона Ньютона произведение массы частицы на её ускорение совпадает с равнодействующей всех сил, приложенных к частице. Сила притяжения Земли пропорциональна массе частицы, коэффициент пропорциональности равен ускорению свободного падения:
m dv / dt = - m g (1)
(знак 'минус' в правой части указывает, что сила тяжести направлена вниз).
Параметр системы:
g – ускорение свободного падения, [ g ] = L T-2.
Преобразуем уравнение (1) в нормальную форму:
dv / dt = - g (2)
Примечание. Нормальная форма дифференциального уравнения первого порядка имеет вид: dy / dt = f ( t, y ), где y = y ( t ) - неизвестная функция аргумента t.
Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием v ( 0 ) = v0 образует задачу Коши:
dv / dt = - g
v ( 0 ) = v0 (3)
Начальное значение: скорость частицы в момент времени t = 0 равна v0: v ( 0 ) = v0, [ v0 ] = LT-1.
Формулы размерности величин, характеризующих систему, включают длину L, массу M, время T.
Выбор единиц измерения, связанных с задачей:
единица измерения массы: m – масса частицы;
единица измерения времени: v0 / g [ v0 / g ] = LT-1 / ( L T-2) = T;
единица измерения длины: v02/ g [ v02/ g ] = L2 T-2 / ( L T-2) = L.
Единицы времени и длины, связанные с задачей, можно спользовать только в том случае, когда v0 отлично от нуля.
Размерности двух параметров системы и начального значения ( m, g, v0) взаимно независимы, критерии подобия отсутствуют.
Задание 2.
Шарик двигается вдоль вертикальной оси Oz под действием постоянной силы тяжести, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости шарика. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Общее описание системы
Шарик двигается вдоль вертикальной оси в однородном поле силы тяжести, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости шарика.
Структура системы
Система состоит из шарика, двигающейся вдоль вертикальной оси. На него действует сила притяжения Земли, воздух оказывает сопротивление движению частицы.
Выбор системы координат
Выберем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с поверхностью Земли, ось Oz была направлена вертикально вверх, частица двигается вдоль оси Oz.
Величины, характеризующие состояние системы
Состояние системы в момент времени t описывается её скоростью v ( t ). Размерность скорости: [ v ] = L T-1, в системе единиц СИ скорость измеряется в метрах на секунду (м/с).
Параметры системы:
m – масса частицы, [ m ] = M.
В силу второго закона Ньютона произведение массы частицы на её ускорение совпадает с равнодействующей всех сил, приложенных к частице. Сила притяжения Земли пропорциональна массе частицы, коэффициент пропорциональности равен ускорению свободного падения:
Fтяжести = - m g (1)
(знак 'минус' в правой части указывает, что сила тяжести направлена вниз). Сила сопротивления воздуха равна – k v:
Fсопротивления = - k v,
знак минус указывает, что направления силы сопротивления воздуха и скорости частицы противоположны.
Параметры системы:
g – ускорение свободного падения, [ g ] = L T-2;
k – коэффициент пропорциональности;
[ k ] = [ сила ] / [ скорость ] = M L T-2 / ( L T-1 ) = M / T.
Уравнение движения частицы;
m dv / dt = - k v – m g
Преобразуем уравнение (1) в нормальную форму:
dv / dt = - ( k / m ) v - g (2)
Примечание. Нормальная форма дифференциального уравнения первого порядка имеет вид: dy / dt = f ( t, y ), где y = y ( t ) - неизвестная функция аргумента t.
Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием v ( 0 ) = v0 образует задачу Коши:
dv / dt = - ( k / m ) v - g
v ( 0 ) = v0 (3)
Начальное значение: скорость частицы в момент времени t = 0 равна v0: v ( 0 ) = v0, [ v0 ] = LT-1
Формулы размерности величин, характеризующих систему, включают длину L, массу M, время T.
Выбор единиц измерения, связанных с задачей:
единица измерения массы: m – масса частицы;
единица измерения времени: m / k [ m / k ] = M / ( M T-1) = T;
единица измерения длины: g m2 / k2. Действительно, [ g m2 / k2 ] = L T-2 M2 / ( M / T )2 = L.
Из трёх параметров и начального значения ( m, g, k, v0 ) можно составить безразмерную величину – критерий подобия
v0k / ( m g )
Он равен отношению силы сопротивления воздуха, действующей на шарик в начальный момент времени, к весу шарика. В силу П-теоремы, все другие критерии подобия функционально зависят от данного критерия.
Задание 3. Шарик двигается в воде вдоль вертикальной оси Oz под действием постоянной силы тяжести, сила сопротивления воды пропорциональна скорости шарика. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
На шарик действует сила Архимеда, выталкивающая его из воды, она направлена вверх и равна 4 π r3 g ρ1 / 3, ρ1 - плотность воды, ρ1 = 1000 кг/м3.
Задание 4.
Электрическая цепь состоит из источника постоянной электродвижущей силы, катушки (без сердечника), сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Компонентами системы являются источник постоянной электродвижущей силы, катушка (без сердечника), сопротивление и выключатель, Каждый из этих приборов имеет два контакта, в узле 1 соединяются контакт источника постоянной электродвижущей силы и контакт катушки, в узле 2 соединяются контакт катушки и контакт сопротивления, в узле 3 соединяются контакт сопротивления и контакт выключателя, в узле 4 контакт выключателя соединяется с контактом источника ЭДС. В силу первого правила Кирхгофа величина тока, втекающего в узел, равна величине тока, вытекающего из узла, следовательно, через каждый компонент цепи в момент времени t течёт ток одной и той же величины i ( t ). Величина i ( t )характеризует состояние системы в момент времени t.
Согласно второму правилу Кирхгофа при обходе замкнутого контура цепи алгебраическая сумма падений напряжения равна алгебраической сумме величин источников ЭДС. Падением напряжения на приборе называется произведение силы тока, проходящего через прибор, на сопротивление прибора, взятое со знаком плюс, если направление тока совпадает с направлением обхода, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Величина источника ЭДС берётся со знаком плюс, если она повышает потенциал цепи в направлении обхода, и со знаком минус, если она понижает этот потенциал. В катушке возникает ЭДС тогда, когда проходящий через неё ток изменяется, она препятствует этому изменению:
Eкатушки = - L di / dt
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет такой вид:
R i = E – L di / dt.
Параметры системы:
E - величина источника ЭДС;
L – индуктивность катушки;
R – величина сопротивления. Величина электродвижущей силы прибора равна работе, которую совершают сторонние силы, перемещая единицу положительного заряда через прибор, поэтому размерность электродвижущей силы равна отношению размерности работы M L2 T-2 к размерности заряда I T: [ E ] = M L2 T-3 I-1.
Размерность напряжения совпадает с размерностью ЭДС, размерность сопротивления определяют с помощью закона Ома: [ R ] = [ U / I ] = [ напряжение ] / [ сопротивление ] = M L2 T-3 I-2.
Произведение L di / dt представляет собой электродвижущую силу, размерность производной di / dt равна отношению I / T, размерность индуктивности вычисляется так: [ L ] = M L2 T-3 I-1 / ( I / T ) = M L2 T-2 I-2
Задание 5. Электрическая цепь состоит из источника постоянной электродвижущей силы, конденсатора, сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Конденсатор является источником ЭДС, она вычисляется по формуле:
Eконденсатора = - q / C,
где q = q ( t ) – заряд, накопленный конденсатором к моменту времени t. Уравнение выглядит так:
R i = E – q / C,
в нём две неизвестные функции: сила тока i и заряд q. Для того, чтобы получить уравнение с одним неизвестным,выражаем силу тока через заряд:
i = dq / dt.
Размерность отношения q / C совпадает с размерностью электродвижущей силы M L2 T-3 I-1, размерность заряда равна I T, следовательно, [ C ] = M L2 T-4 I-2.
Задание 6. Электрическая цепь состоит из источника электродвижущей силы, изменяющейся по синусоидальному закону, катушки (без сердечника), сопротивления и выключателя, которые соединены последовательно. В начальный момент времени включают ток. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Величина источника ЭДС в произвольный момент времени t равна A sin ( 2 π n t + φ ), где A – амплитуда, а n – частота ЭДС, φ - начальная фаза. В электрической сети частота ЭДС составляет 50 с-1, амплитуда A равна эффективному напряжению (220 В), умноженному на корень квадратный из двух.
Задание 7. Частица (материальная точка) двигается без трения вдоль горизонтальной оси Ox под действием возвращающей силы, пропорциональной расстоянию частицы от начала координат. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Состояние системы в момент времени t описывается её абсциссой x = x ( t ), величина действующей на неё возвращающей силы равна c x, c – числовой коэффициент. В силу второго закона Ньютона
m d2 x / dt2 = - c x
(знак минус указывает, что возвращающая сила направлена от частицы к началу координат). Чтобы преобразовать это уравнение в нормальную форму используем переменные x1, x2:
x1,будет обозначать абсциссу частицы, а x2 – её скорость. Уравнение движения частицы превращается в систему уравнений:
dx1 / dt = x2
dx2 / dt = - c x1 / m.
Задание 8. Мяч бросают со скоростью v0 под углом α к горизонту и он двигается в однородном поле силы тяжести. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Выбор системы координат
Ось Oz направим вертикально вверх, начало координат поместим в ту точку, где мяч находился в начальный момент времени, ось Ox выберем так, чтобы вектор начальной скорости лежал в плоскости Oxz.
Состояние системы в момент времени t характеризуется тремя координатами вектора скорости vx, vy, vz.
Задание 9. Частица (материальная точка) двигается вдоль горизонтальной плоскости Oxy, на неё действует возвращающая сила, пропорциональная её удалению от начала координат и сила трения, пропорциональная весу частицы. Масса частицы равна m. Постройте и исследуйте математическую модель системы.
Если скорость частицы отлична от нуля, то величина силы трения пропорциональна весу частицы и направлена противоположно скорости. Коэффициент трения f является, безразмерной величиной, это один из критериев подобия. Если скорость частицы равна нулю и величина равнодействующей сил, приложенных к системе (исключая силу трения), не превосходит максимальной величины силы трения покоя f m g, то сила трения уравновешивает все эти силы; если же скорость частицы равна нулю и величина равнодействующей сил, приложенных к системе (исключая силу трения), больше максимальной величины силы трения покоя f m g, то сила трения равна f m g и направлена противоположно направлению суммы всех остальных сил, действующих на частицу.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Теория вероятности изучает следующую модель: опыт повторяется неограниченное количество раз. Любое множество исходов опыта называется событием. Говорят что в опыте наступило событие, если исход опыта принадлежит данному множеству.
Пример. Подбрасывают игральную кость – кубик, на гранях которого написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событие «выпало чётное число очков» - это множество исходов { 2, 4, 6 }. Если выпало 6 очков, событие«выпало чётное число очков» наступило, если выпало 5 очков, оно не наступило.
Частотой события А называется отношение количества опытов, в результате которых событие А наступило, к общему количеству проведённых опытов. Предполагается, что с увеличением количества опытов частота события стремится к пределу, который называется вероятностью события, вероятность события А обозначается символом р ( А ).
Пример. Монету подбросили 40 раз, 17 раз выпал герб. Частота выпадения герба равна 17 / 40 или 0,425. Если монета идеальная (сделана из однородного материала и симметрична), то считается, что вероятность выпадения герба и вероятность выпадения решки равны ½, а вероятность того, что она станет на ребро равна нулю.
Частота и вероятность события являются безразмерными величинами, это означает, что они не изменяются при переходе к другой системе единиц измерения. Частота и вероятность события не могут быть меньше нуля или больше единицы. Событие, вероятность которого равна 1, происходит при любом (почти при любом) исходе опыта, событие, вероятность которого равна 0, никогда (почти никогда) не наступает.
Вероятность того, что в результате опыта наступит хотя бы одно из событий А, В вычисляется по формуле:
р ( А или В ) = р ( А ) + р ( В ) - р ( А и В ),
где р ( А и В ) - вероятность того, что в опыте наступят оба события А и В.
События А, В называются несовместными, если они не могут наступить в одном опыте, для несовместных событий р ( А и В ) = 0. Событие A и событие «не A» (событие A не наступило) несовместны, вероятность того, что наступит событие ( A или не A ) равна 1, следовательно, p ( не A ) = 1 – p ( A )
Величина, значение которой определяется исходом опыта, называется случайной величиной.
Пример. Число очков, которое выпадает при бросании игральной кости, является случайной величиной, эта случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Предел, к которому стремится среднее значение случайной величины Х, вычисленное по результатам n опытов, когда n неограниченно возрастает, называется математическим ожиданием случайной величины Х и обозначается символом МХ. Математическое ожидание суммы случайных величин равна сумме их математических ожиданий: для любых случайных величин X, Y M ( X + Y ) = MX + MY. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M ( a X ) = a M ( X ).
Среднее значение случайной величины и ее математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина.
Если идеальная игральная кость бросают n раз, то каждое число очков выпадет примерно n / 6 раз, так что среднее число выпавших очков будет приблизительно равно
( 1· n / 6 + 2 · n / 6 + 3 · n / 6 +
4 · n / 6 + 5 · n / 6 + 6 · n / 6 ) / n =
( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) / 6 = 3,5
Таким образом, математическое ожидание числа выпавших очков равно 3,5.
Случайная величина X называется дискретной, если все её значения можно представить в виде (конечной или бесконечной) последовательности x1, x2 ,.... Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
M ( X ) = x1p ( X = x1) + x2 p ( X = x2 ) +...,
где p ( X = xk ) - вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины X будет равно xk.
Пример. Количество выпадений герба при бросании монеты является случайной величиной, которое с вероятностью ½ может принимать значения 0 и 1. Математическое ожидание этой величины равно
0 · ½ + 1 · ½ = ½.
Пусть g – числовая функция, X- дискретная случайная величина. Случайная величина g ( X ) также будет дискретной, её математическое ожидание можно найти так:
M g ( X ) = g ( x1 ) p ( X = x1) + g ( x2) p ( X = x2 ) +...,
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и её математическим ожиданием:
DХ = М ( | X - MX |2 ).
Дисперсия случайной величины неотрицательна, для любой случайной величины X и любого числа a
D ( a X ) = a2 DX.
Квадратный корень из дисперсии называется квадратичным или стандартным отклонением случайной величины Х. Квадратичное отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина Х, она характеризует разброс значений величины Х вокруг ее математического ожидания.
Иногда удобно считать, что постоянная величина a является вырожденной случайной величиной, принимающей при любом исходе опыта одно и то же значение a. Математическое ожидание такой величины равно a, а её дисперсия нулевая.
Обычно формулу для вычисления дисперсии преобразуют:
DХ = М ( | X - MX |2 ) = M ( X X – 2 ( MX) X + ( MX ) ( MX )) = M ( X X ) - 2 ( MX ) MX + ( MX ) ( MX ) = M ( X2) - ( MX )2 ;
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна
M ( X2) - ( MX )2.
Задание. Определите дисперсию количества очков, выпадающих при бросании игральной кости и дисперсию количества гербов, выпадающих при бросании монеты.
Функцией распределения случайной величины X называется числовая функция FX ( s ), которая определяется следующим образом: FX ( s ) = p ( X < s ) для любого вещественного значения аргумента s.
Пример. Если X – количество гербов, выпавших при бросании монеты, то
FX ( s ) = 0, когда s ≤ 0, FX ( s ) = ½, когда 0 < s ≤ 1 и FX ( s ) = 1, когда s > 1.
Задание. Определите функцию распределения количества очков, выпавших при бросании игральной кости.
В моделировании случайных величин используется случайная величина, равномерно распределённая на интервале ] 0, 1 [. Будем обозначать её буквой E. Она имеет следующую функцию распределения:
FE ( s ) = 0, когда s≤ 0, FE ( s ) = s, когда 0 < s < 1 и FE ( s ) = 1, когда s ≥ 1.
Случайная величина X называется непрерывной, если её функцию распределения можно представить в виде интеграла:
FX ( s ) = [ -∞, s ] fX ( u ) du
для всех s. Функция fX называется в этом случае плотностью случайной величины X. Плотность случайной величины E равна 1 в точках интервала ] 0, 1 [ и равна нулю во всех остальных точках числовой прямой.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью fX вычисляют по формуле
M ( X ) = [ -∞, +∞, ] s fX ( s ) dt .
Аналогичная формула справедлива для случайной величины g ( X ), где g ̶ числовая функция:
M ( g ( X )) = [ -∞, +∞ ] g ( s ) fX ( s ) ds
(в левой части равенства аргументом функции g служит случайная величина X, g ( X ) ̶ случайная величина; в правой части равенства аргументом функции g служит число s, g ( s ) ̶ значение числовой функции).
В частности,
D ( X ) = M ( | X – MX |2 ) = [ -∞, +∞ ] | s – MX |2 fX ( s ) ds;
M ( X2)) = [ -∞, +∞ ] s 2 fX ( s ) ds.
Напомним, что
D ( X ) = M ( X2 ) - ( MX )2
Задание. Нарисуйте график функции распределения случайной величины E, равномерно распределённой на интервале ] 0, 1 [ и её плотности, вычислите её математическое ожидание и дисперсию.
Пусть X = α E + β, где E – случайная величина, равномерно распределённая на интервале ] 0, 1 [, α, β – вещественные числа, α > 0. Для любого вещественного числа s следующие утверждения эквивалентны:
X < s, α E + β < s, E < ( s - β ) / α,
следовательно, FX ( s ) = FE ( ( s - β ) / α ). Случайная величина α E + β равномерно распределе
[ -∞, s ] fX ( u ) du