МИНИМАКСНЫЙ КРИТЕРИЙ ИЛИ КРИТЕРИЙ ЧЕБЫШЕВА

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЙ КРИТЕРИЙ

КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ

КЛАСС ФУНКЦИЙ

УЗЛОВЫЕ ТОЧКИ

В принципе это вопрос статистики, а именно той области, которая называется "планированием эксперимента".

На практике узловые точки заданы внешними обстоятельствами или используются равноотстоящие точки.

Если же существует возможность выбора точек, то выбор осуществляется по формуле Чебышева, как и в методах интерполяции.

Выбор вида функции осуществляется исходя из общей задачи, в рамках которой решается задача обработки экспериментальных данных. В качестве функции приближения могут быть использованы следующие элементарные функции:

- степенная

- показательная

- дробно-линейная

- логарифмическая

- гиперболическая

- дробно-рациональная

- линейная

- квадратный трехчлен

Это самый важный вопрос. Решение этого вопроса дает ответ решения задачи наилучшего приближения. Что означает математически наилучшее приближение? Это означает выбрать критерий согласия, который является функцией невязки узловых точек и значениями аппроксимирующей функции:

.

Выбор наилучшей функции осуществляется по минимуму этого критерия.

Существуют три наиболее широко распространенных критерия согласия:

- среднеквадратичный;

- минимаксный или Чебышева;

- вероятностно-зональный.

Предполагает минимизацию суммы квадратов ошибки в узловых точках:

где y_i -значение исходной функции в точке х_i (табличное);

F(х_i) -значение аппроксимирующей функции.

Среднеквадратичный критерий позволяет получить сглаживание кривой, то есть позволяет отфильтровать зашумленные данные, не требуя никакой дополнительной информации о шумовых характеристиках помех.

Минимаксный критерий Чебышева определяется как:

Если применение среднеквадратичного критерия уменьшает среднеквадратичную ошибку, при этом допуская отдельные большие ошибки, то чебышевское приближение - минимаксное - уменьшает экстремальную наибольшую ошибку. По этому этот критерий используется, когда необходимо при аппроксимации избежать больших ошибок.

Минимаксный критерий также не использует дополнительную информацию о шумовых характеристиках помех.