Сходимость метода итераций для решения системы алгебраических уравнений

Метод итераций

Дана система уравнений

Можно привести систему к такому виду, чтобы диагональные элементы были отличные от нуля, то есть , тогда разрешая -тое уравнение относительно, получаем

, (2)

где , , или при

, .

Тогда систему уравнений 2 можно записать в виде:

- итерационная формула.

Таким образом, выбрав начальные значения

и так далее.

Итерации останавливаются, когда ,

Теорема: Система уравнений имеет единственное решение и сходится при любом начальном значении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы по модулю меньше 1.

Если для системы уравнений

выполнено хотя бы одно из условий:

1. ,

2. ,

то процесс итерации сходится, независимо от выбора начального условия.

Однако этой теоремой в общем случае очень тяжело воспользоваться, поэтому на практике пользуются другим правилом менее жёстким.

Если эти условия выполняются, то в принципе логично выбрать для начальных значений. На практике в качестве начального приближения используют вектор свободных членов.

Приведение линейной системы к виду, удобному для итерациию.

Теорема сходимости накладывает жёсткие условия к коэффициентам данной линейной системы.

Однако, если , то эту систему всегда можно привести к такому виду:

, чтобы удовлетворить условиям 1

Первый способ.

Дано:

Домножим это уравнение на матрицу , где

,

где

Второй способ.

Каждое -ое уравнение делится на

Тогда , , .

Тогда уравнение сходимости имеет вид

,

,

Эти неравенствабудут выполняться, если диагональные элементы будут удовлетворять условиям:

, ,

то есть если модули диагональных коэффициентов для которого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.