Основные теоретические положения

Определение линейных динамических систем. Под линейно динамической системой (ЛДС) будем понимать математическую модель, уравнения которой представляют собой обыкновенные линейные дифференциальные уравнения, в общем виде записываемые в виде:

(1)

где , - постоянные коэффициенты (параметры) модели, , , - порядок модели, - входная переменная (задаваемое управляющее воздействие), - выходная переменная (наблюдаемый выход системы). Модели типа (1) образуют группу моделей, содержащие только один (главный) вход и один (главный) выход - т.н. модели типа SISO – single input single output.

Представление в виде передаточных функций.В теории управления принято представление ЛДС виде операторных передаточных функций (п.ф.). В качестве оператора принимается оператор Лапласа, оператор запаздывания (для дискретных систем), либо оператор дифференцирования (рассматриваемый здесь и далее по-умолчанию). Система (1) в виде п.ф. запишется следующим образом:

(2)

где - обозначение п.ф., - полиномы от оператора .

Представления (1) и (2) можно рассматривать как эквивалентные т.к. одна форма записи непосредственно выводится из другой.

Представление в форме пространства состояний.Другой формой представления ЛДС вида (1) является представление в форме пространства состояний в качестве системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений I порядка:

(3)

здесь , - параметры модели, , , , - порядок модели, - входные переменные, - переменные состояния.

Для связи переменных состояния модели (1) с наблюдаемой выходной переменной системы вводится модель выхода:

(4)

здесь - параметры модели выхода.

Более компактная запись системы (3), (4) в матричной форме имеет вид:

(5)

с матрицами параметров:

, , ,

вектором состояния системы и вектором переменных управления .

Представление (5) можно рассматривать как «первичное» в том смысле, что многие математические модели первоначально формируются в виде систем дифференциальных уравнений, отражающих различные зависимости и закономерности модели.

Численное моделирование ЛДС.Под численным моделированием ЛДС понимается нахождение (расчет) значений переменных системы при заданных параметрах и входных воздействиях. Результаты моделирования представляются в виде графиков переходных процессов моделируемых переменных.

Процедура численного расчета модели предполагает переход от непрерывного времени к дискретной величине при заданном шаге дискретизации (периоде квантования) - и вариацией номера шага (точки) - .

При этом все непрерывные переменные системы и их производные численными аналогами, рассчитанными по формулам конечных разностей:

,

,

…

Процедура численного моделирования ЛДС включает следующие этапы:

1. Задание параметров системы.

2. Определение временного интервала моделирования и шаг квантования .

3. Расчет значений переменной (ых) управления на выбранном временном интервале.

4. Задание начального состояния системы в момент времени (начальные условия). Для систем в форме п.ф. задается значение выходной переменной и значения дискретных аналогов производных вплоть до - го порядка. Для систем в форме пространства состояний задаются значения переменных состояний в дискретной форме .

5. Численный расчет модели на заданном временном периоде . Для систем в форме п.ф. рассчитываются значения выходной переменной . Для систем в форме пространства состояний рассчитываются значения переменных состояний , затем на основе уравнений модели выхода – значение выходной переменной(ых) .

6. Для удобства анализа строятся графики переходных процессов выхода в восстановленном непрерывном времени .

Численное моделирование систем, заданных в форме передаточных функций.Пусть анализируемая система задана в виде п.ф. (2):

Для построения численной схемы расчета удобно привести эту запись к стандартному уравнению (1):

Переходя от непрерывных величин к их дискретным аналогам получим уравнение, которое можно сгруппировать относительно переменных вида и со смещением по шагам дискретизации , :

В этом уравнении выходная переменна с наибольшим смещением по шагу записывается в левой части, а все остальное переносится в правую:

Полученное уравнение называется уравнением регрессии. Реализация процедуры численного моделирования ЛДС по данному уравнению предполагает пересчет значений дискретных аналогов производных в значения переменной выхода присутствующей в правой части уравнения, т.е в значения от до .

Численное моделирование систем, заданных в форме пространства состояний.В простейшем случае численное моделирование ЛДС возможно с использованием схемы численного интегрирования Эйлера. Вывод уравнений схемы продемонстрируем на частном примере следующей системы 2-го порядка

,

или в матричном виде

, , , ,

, ,

Перейдем к дискретному представлению непрерывных переменных и их производных:

Оставляя в левой части значения переменных на -м шаге, получим:

Аналогично для модели выхода:

Данные уравнения образуют основу схемы численного интегрирования Эйлера. Более компактная запись схемы в матричном виде предполагает следующие преобразования:

– раскроем скобки в правой части системы

– распишем правую часть в виде произведения векторов , и соответствующих матриц параметров:

– объединяя строки системы в матрицу, получим

– группируя вектора переменных, окончательно получим:

или в компактной форме:

где , - единичная матрица,

Процедура численного моделирования ЛДС по схеме Эйлера соответствует общей, рассмотренной ранее.