Трехмерные матричные преобразования

Подобно тому, как двумерные преобразования описываются матрицами размером , трехмерные преобразования могут быть представлены матрицами размером . Тогда трехмерная точка записывается в однородных координатах как , где . Для получения декартовых координат надо первые три однородные координаты разделить на . Два однородных вектора описывают одну декартову точку в трехмерном пространстве, если , где и - векторы, записанные в однородных координатах.

Матрицы преобразований будем записывать в правосторонней системе координат. При этом положительный поворот определяется следующим образом. Если смотреть из положительной части оси вращения (например, оси ) в направлении начала координат, то поворот на против часовой стрелки будет переводить одну положительную полуось в другую (ось в , в соответствии с правилом циклической перестановки).

Заметим, что на практике удобнее применять левостороннюю систему координат, так как в этом случае удобнее интерпретировать тот факт, что точки с большими значениями находятся дальше от наблюдателя.

Запишем теперь матрицу трехмерного переноса. Аналогично двумерному случаю.

, при этом

.

Операция масштабирования:

Перейдем к операции поворота, с ней в трехмерном случае придется разбираться чуть побольше чем в двумерном. Так как при двумерном повороте в плоскости координаты остаются неизменными, то поворот вокруг оси записывается так:

.

Матрица поворота вокруг оси имеет вид:

,

и вокруг оси :

Обратите внимание на смену положения синуса угла с отрицательным знаком в матрице поворота вокруг оси . Правильность этих матриц легко проверить поворотом одного из ортов на , при этом он должен перейти в следующий по порядку орт на соответствующей координатной оси.

Обратные преобразования будут выражаться обратными матрицами. Для операции переноса надо лишь заменить знаки компонент вектора переноса на противоположные:

;

для операции масштабирования – на обратные значения:

;

для поворота – выбором отрицательного угла поворота:

.

Результатом нескольких последовательных поворотов будет матрица

.

Здесь верхняя матрица размером называется ортогональной. Важным ее свойством является то, что обратная к ней матрица является транспонированной: . Это полезно тем, что при вычислениях достаточно поменять индексы местами и обратное преобразование получается автоматически.

После перемножения любого числа матриц вида и результирующая матрица всегда будет иметь вид:

.

Здесь верхняя часть размером определяет суммарный поворот и масштабирование, а три коэффициента последней строки – суммарный перенос.