Математическое моделирование

Модели

Понятие модели является одним из основных понятий современной науки. По отношению к своим моделям реальная система служит оригиналом, или прототипом. Модель (от латинского modulus — мера, образ, образец) — это образ или прообраз системы-оригинала, используемый при заданных условиях в качестве системы-заменителя, отражающей основные закономерности оригинала. Словом “основные” подчеркивается, что модель является компромиссом между необозримой сложностью оригинала и ограниченными на данном этапе развития возможностями исследования его поведения. В качестве образа реальной системы применяются макеты, схемы, графы, цепи Маркова и т. п., а в качестве прообраза — образцы (слепки), служащие эталоном для серийного воспроизведения изделия в другом материале.

В основу построения моделей полагают принципы реализуемости и завершенности, независимости реализации от материальной среды, оптимальности и соответствия, конструктивной целостности.

Принцип реализуемости и завершенности предполагает, что по модели, которая удовлетворяет заданным требованиям, можно построить реальную систему. Система может быть выполнена с использованием имеющихся у исследователя материальных средств. Чтобы система оказалась наилучшей, необходимо правильно выбрать целевую функцию и ограничения. Конструктивная целостность подчеркивает, что модель состоит из предикатов, которые могут быть реализованы на практике.

Существующее многообразие моделей можно разделить на изоморфные и гомоморфные.

В изоморфной модели между моделью и оригиналом наблюдается полное поэлементное соответствие. Изоморфизм в данном случае означает равенство формы реальной системы и модели, обладающее свойствами рефлективности (копия данной системы служит ее моделью), транзитивности (модель модели является моделью исходной системы) и симметричности (любая система есть модель каждой своей модели). Классическими примерами изоморфизма являются наглядные модели предметов. Условие изоморфизма модели и оригинала требует подобия их строения, которое предполагает равночисленность предикатов.

Упрощение может быть достигнуто в том случае, если пренебречь несущественными предикатами, т. е. перейти от точного изоморфного восприятия к представлению модели как приблизительного образа моделируемой системы. Указанное требование приводит к общему понятию гомоморфизма модели реальной системы, также рефлективного и транзитивного, но несимметричного.

Гомоморфный (приближенный) образ содержит не большее число предикатов, чем оригинал. При этом гомоморфное преобразование состоит в том, чтобы укрупнить имеющиеся у исследователя сведения о системе в более компактную, удобную для дальнейшей обработки форму. Выбор существенных предикатов позволяет заменить абсолютное относительным, точное — приближенным, конкретное — абстрактным. Появляется возможность проведения анализа системы с помощью упрощенной модели, отображающей только существенные для исследователя черты оригинала.

Так возникла теория моделирования — метод познания и научного исследования, связанный с замещением систем-оригиналов их моделями, и исследования свойств моделей для перенесения результатов решения на оригиналы. Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные (предполагается отсутствие всяких случайных воздействий) и стохастические (вероятностные процессы и события), статические (описание объекта в какой-либо момент времени) и динамические (отражает поведение объекта во времени), дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. В случае стохастического моделирования анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций.

В зависимости от формы представления объекта (системы S) можно выделить мысленное и реальное моделирование. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического. Уточним термины.

Моделирование — исследование какого-либо процесса или явления путем имитации с помощью реальных или абстрактных объектов, свойства которых и отношения между которыми отражают существенные стороны исследуемого процесса или явления. Если для имитации используются реальные объекты, то это физическое моделирование, если абстрактные объекты, то это математическое моделирование.

Математическая модель — совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств, точек, отрезков прямых и т. д.) и отношений между ними, отражающая некоторые свойства моделируемого физического объекта, интересующие инженера-исследователя.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторой математической модели и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта.

Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Проектирование модели начинается с обоснования задачи и составления содержательного описания исследуемой системы — создания функциональной модели. Функциональные модели представляются в виде образных описаний работы конкретных систем, графов состояний, временных диаграмм и т. п.

В процессе формализованного описания определяются характеристики системы, подлежащей изучению, устанавливаются цели и ограничения. Если задачу можно решить аналитическим путем, то необходимо приступить к разработке аналитической модели.

В аналитических моделях поведение сложных систем записывается в виде некоторых функциональных соотношений или логических условий. Для построения аналитических моделей имеется мощный математический аппарат (алгебра, функциональный анализ, разностные уравнения, теория вероятностей, математическая статистика, теория массового обслуживания и т. д.).

Когда явления в сложной системе настолько сложны и многообразны, что аналитическая модель становится слишком грубым приближением к действительности, то исследователь вынужден использовать имитационное моделирование. В имитационной модели поведение компонент сложной системы описывается набором алгоритмов, которые затем реализуют ситуации, возникающие в реальной системе. Моделирующие алгоритмы позволяют по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии и фактическим значениям параметров системы отобразить реальные явления в системе и получить сведения о возможном поведении сложной системы для данной конкретной ситуации. На основании этой информации исследователь может принять соответствующие решения.

Методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний (Монте-Карло) — численный метод решения аналитической задачи.

Продолжение таблицы

Процесс моделирования остается неполным до тех пор, пока не проведены исследования на идентификацию (оценку параметров, например, по методу наименьших квадратов) изучаемой системы и адекватность модели реальному объекту. Итеративный процесс выбора модели продолжается до тех пор, пока не будет подтверждено соответствие выбранной модели имеющимся данным о моделируемой системе.