Алгоритм Брезенхема

Для простоты и без ограничения общности рассмотрим генерацию 1/8 окружности, центр которой лежит в начале координат. Остальные части окружности могут быть получены последовательными отражениями (использованием симметрии точек на окружности относительно центра и осей координат).

Окружность с центром в начале координат описывается уравнением:

X² + Y² = R²

Алгоритм Брезенхема пошагово генерирует очередные точки окружности, выбирая на каждом шаге для занесения пиксела точку растра P_i(X_i, Y_i), ближайшую к истинной окружности, так чтобы ошибка:

E_i(P_i) = (X_i² + Y_i²) - R²

была минимальной. Причем, как и в алгоритме Брезенхема для генерации отрезков, выбор ближайшей точки выполняется с помощью анализа значений управляющих переменных, для вычисления которых не требуется вещественной арифметики. Для выбора очередной точки достаточно проанализировать знаки.

Рассмотрим генерацию 1/8 окружности по часовой стрелке, начиная от точки X=0, Y=R.

Проанализируем возможные варианты занесения i+1-й точки, после занесения i-й.

При генерации окружности по часовой стрелке после занесения точки (X_i, Y_i) следующая точка может быть) либо Pg = (X_i+1, Y_i) - перемещение по горизонтали, либо Pd = (X_i+1, Y_i-1) - перемещение по диагонали, либо Pv = (X_i, Y_i-1) - перемещение по вертикали.

Для этих возможных точек вычислим и сравним абсолютные значения разностей квадратов расстояний от центра окружности до точки и окружности:

Выбирается и заносится та точка, для которой это значение минимально.