Лекция № 7. Различные виды алгебраических структур.

Пример 2.

а) Пусть - множество натуральных чисел, множество натуральных чётных чисел. Алгебры и изоморфны; изоморфизмом является отображение , причём условие здесь имеет вид . Поскольку , то данный изоморфизм есть изоморфизм алгебры в себя.

б) Изоморфизмом между алгебрами и является, например, отображение . Условие имеет вид .

в) Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы (см. выше), а отображением может служить любое взаимнооднозначное соответствие.

Теорема 5.3. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр.

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его сущность можно выразить следующим образом. Если две алгебры изоморфны, то элементы и операции любой из них можно переименовать таким образом, что эти алгебры совпадут. Это позволяет, получив некоторое эквивалентное соотношение в данной алгебре, распространять его на любую изоморфную ей алгебру. Распространённое в математике выражение “с точностью до изоморфизма” означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, то есть являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

1. Полугруппы.

Определение. Полугруппой называется алгебра вида с одной ассоциативной бинарной операцией .

Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде или , а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью .

Замечание. Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин “умножение” здесь является достаточно условным. Символ “” применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом“” может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент , что для любого выполняется , то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы и . Тогда и , следовательно .