Основные этапы проведения корреляционно-регрессионного анализа данных

Пользуясь методами корреляционно-регрессионного анализа, аналитики измеряют тесноту связей различных экономических показателей с помощью коэффициента корреляции. При этом обнаруживаются связи, различающиеся по силе (сильные, слабые, умеренные и др.) и по направлению (прямые, обратные). Если связи окажутся существенными, то целесообразно будет найти их математическое выражение в виде регрессионной модели и оценить статистическую значимость модели. В экономике значимое уравнение используется, как правило, для прогнозирования изучаемого явления или показателя.

Корреляционно-регрессионный анализ связей между переменными показывает, как один набор переменных (X) может влиять на другой набор (Y). Таким образом, регрессионные вычисления и подбор хороших уравнений - это ценный, универсальный исследовательский инструмент в самых разнообразных отраслях деловой и научной деятельности (маркетинг, торговля, медицина и т. д.).

В маркетинге широко применяются как однофакторные, так и множественные регрессионные модели. Корреляционно-регрессионный анализ считается одним из главных мето­дов в маркетинге, наряду с оптимизационными расчетами, а также математическим и графическим моделированием прогнози­руемых явлений с помощью трендов. Для более полного представления процесса построения много­факторных регрессионных моделей рассмотрим этапы проведения корреляционно – регрессионного анализа.

Нулевой этап - это сбор данных. Огромное внимание на данном этапе уделяется качеству данных. Сбор данных создает фундамент прогнозам. Поэтому имеется ряд требований и правил, которые следует соблюдать при сборе данных.

Первый этап - корреляционный анализ. Его цель - определить характер связи (прямая, обратная) и силу связи (связь отсутствует, связь слабая, умеренная, заметная, сильная, весьма сильная, полная связь). Корреляционный анализ создает информацию о характере и степени выраженности связи (коэффициент корреляции), которая используется для отбора существенных факторов, а также для планирования эффективной последовательности расчета параметров регрессионных уравнений. При одном факторе - вычисляют коэффициент корреляции, а при наличии нескольких факторов - строят корреляционную матрицу, из которой выясняют два вида связей: связи зависимой переменной с независимыми, связи между самими независимыми переменными.

Второй этап - расчет параметров и построение регрессионных моделей. Здесь стремятся отыскать наиболее точную меру выявленной связи, для того чтобы можно было про­гнозировать, предсказывать значения зависимой величины Y, если будут известны зна­чения независимых величин Х₁, Х₂, …, Х_n. Эту меру обобщенно выражают математической мо­делью линейной множественной регрессионной зависимости: у = а₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … + b_nx_n.

После получения каждого варианта уравнения обязательной процедурой является оценка его статистической значимости, поскольку главная цель - получить уравнение наивысшей значимости, поэтому второй этап корреляционно-регрессионного анализа неразрывно связан с третьим.

На третьем этапе выясняют статистическую значимость, т. е. при­годность постулируемой модели для использования ее в целях предсказания значений отклика. На этом этапе исключительно важную роль играют коэффициент детерминации и F-критерий значимости регрессии. R Squared (R²) - коэффициент детерминации - это квадрат мно­жественного коэффициента корреляции между наблюдаемым значением Y и его теоретическим значением, вычисленным на основе модели с определенным набором факторов. Коэффициент детерминации измеряет действительность модели. Он может принимать значения от 0 до 1. Эта величина особенно полезна для сравнения ряда различных моделей и выбора наилучшей модели.

На четвертом этапе корреляционно-регрессионного исследования, если полученная модель статистически значима, ее применяют для прогнозирования (предсказания), управления или объяснения. Если же обнаружена незначимость, то модель отвергают, предполагая, что истинной окажется какая-то другая форма связи, которую надо поискать. Незначимость ее служит основанием для того, чтобы отвергнуть только линейную форму модели. Возможно, что более подходящей будет нелинейная форма модели.

3.2.3. Сбор и первичная обработка данных для проведения корреляционно-регрессионного анализа влияния факторов на реализацию продукции ОАО "Вяземский машиностроительный завод"

Для определённости эндогенные переменные в этих моделях будем называть резуль­тативными признаками, а экзогенные переменные будем называть факторными признаками. Построенная регрессионная эконометрическая модель позволит: во-первых, определить математическую зависимость между переменными, во-вторых, измерить тесноту связи между ними, в-третьих, проанализировать влияние отдельных факторных признаков на результат. В целях проведения более глубокого и комплексного исследования влияния факторов на объёмы реа­ли­зуемой ОАО «Вяземский машиностроительный завод» продукции необходимо постро­ение уравнения множественной регрессии.

В качестве эндогенной переменной выберем среднемесячное по каждой группе и годовому временному периоду количество реализованной продукции ОАО «Вяземский маши­ностроительный завод», обозначим её переменной y, экзогенными переменными будут: средняя цена единицы реализованной продукции х1, средняя производительность реализованной продукции х2, затраты на эксплуатацию в течение определённого временного периода (1 часа) одного изделия прачечного оборудования х3. Всю производимую и реализуемую предприятием продукцию можно условно разделить на группы:

1. стиральные машины загрузочной массой 10 кг;

2. стиральные машины загрузочной массой 25 кг;

3. стирально – отжимные установки и стиральные машины загрузочной массой 50 кг;

4. центрифуги;

5.машины сушильные;

6.каландры гладильные.

Приступаем к нулевому этапу построения регрессионной модели. Для этого используются данные о реализованной продукции за период 04.2012 г.-03.2013 г. см. табл. 2.1.

Таблица 2.1

Продолжение табл. 2.1

На основании паспортных данных на прачечное оборудование ОАО «Вяземский машиностроительный завод» и сведений о реализованной продукции, предоставленных службой маркетинга упомянутого предприятия рассчитываются значения экзогенных и эндогенных переменных: количества реализованной продукции, средних цен изделий, средней производительности изделий каждой группы см. рис. 2.1.

Рис. 2.1.

На основании дан­ных, предоставленных коми­те­том госэнергонадзора и горво­дока­­налом, рассчиты­ва­ются затраты, связанные с эксплу­а­тацией прачечного оборудо­вания, а именно, затраты на оплату электро­энергии, за­тра­ты на оплату пара, пода­ваемого для подо­грева сти­раль­ных и сушиль­ных ма­шин с паровым видом обогрева, затраты на оплату использования воды и сточной системы, для стиральных машин – затраты на приобретение моющих средств. Расчёты выполнены по тарифам, утверждённым в Смоленской области: стоимость 1 Гкал тепла, передаваемого паром – 152,3 руб., 1 Квт/ч электроэнергии стоит 0,84 руб., подача 1 кубометра воды стоит 1,08 руб., за слив 1 кубометра сточных вод необходимо заплатить 0,72 руб. Расчёты выполнены посредством табличного процессора MS Excel, результаты расчётов приводятся ниже см. рис. 2.2 - 2.7.

Рис. 2.2. Расчёты по изделиям первой и второй исследуемых групп

Рис. 2.3. Расчёты по изделиям первой и второй исследуемых групп

Рис. 2.4. Продолжение таблицы расчёта для изделий первой и второй группы

Рис. 2.5. Расчёты затрат на эксплуатацию изделий 3, 4, 5 и 6 групп

Рис. 2.6. Окончание таблицы расчётов затрат на эксплуатацию изделий 3 группы

Рис. 2.7. Окончание таблицы расчётов затрат на эксплуатацию изделий 4, 5, 6 группы

Клетки таблицы, окрашенные в жёлтый цвет обозначают резуль­тиру­ющие значения затрат на экс­плуа­тацию прачечного оборудова­ния, ко­то­­рые переносятся в итого­вую табли­цу, содержащую исход­ные данные для построения регрес­си­он­ной модели.

3.2.4. Результаты применения компьютерной модели для исследования влияния факторов на реализацию продукции ОАО "Вяземский машиностроительный завод"

С выбора уравнения регрес­сии начинается второй этап построения регрессионной модели. Общий вид уравнения, выра­жа­ющего зависимость между количеством реали­зован­ной продукции, ценной изделий, их произ­во­дительностью и затратами на эксплуатацию имеет вид:

Для нахождения коэффициентов используем метод наименьших квадратов. Смысл метода в том, что строим функционал:

, затем он минимизируется . Для решения поставленной задачи составляется систему уравнений:

Для

После выполнения несложных эквивалентных преобразований получаем систему уравнений:

Решением которой являются коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁, а₂, а₃. Их значения можно получить методом Крамера, используя табличный процессор MS Excel, в частности его функцию МОПРЕД(), вычисляющую определитель любой матрицы.

Таблица исходных данных для искомой эконометрической модели в MS Excel см. табл. 3.1.

Таблица 3.1

В табличном процессоре MS Excel имеется пакет «АНАЛИЗ ДАННЫХ» для выполнения корреляционного однофакторного и двухфакторного анализа различных данных, для прове­дения многофакторного анализа в упомянутом пакете подходящих средств нет. Можно воспользоваться инструментами MS Excel для обработки статистических данных (функциями, позволяющими рассчитывать средние, суммарные и другие числовые значения, на основе их строить различные формулы), чтобы произвести ввод исходных данных, их усреднение и дальнейшую обработку для составления систем нормальных уравнений. Но существует другой подход, позволяющий быстро и качественно выполнить формирование таблицы исходных данных для расчёта коэффициентов уравнения множест­венной регрессии. Необходимо привлечь к этому несложную программу обработки данных, реализованную, например, посред­ством СУБД CLARION 6.3. Основу такой программы составляет процедура –TABLE (таблица) ведения базы данных, в которую помещаются данные о номере исследуемой группы объекта, значении результи­рующего признака и соответствующих значений факторных признаков. Добавление записей и их корректировка ведётся с помощью процедуры FORM (формы), вызываемой из таблицы. После заполнения такой базы данных выполняется функция пересылки данных из введённой базы данных в табличный процессор MS Excel, причём СУБД CLARION 6.3 выполняет процедуру усреднения данных по каждой исследуемой группе, т.е. формирует итоговую таблицу для построения регрессионной модели. С помощью такой программы удобно обрабатывать данные анкет с целью дальнейшего их анализа с помощью эконо­метрических моделей. Для этого необходимо заранее определиться с исследуемыми группами и условиями принадлежности той или иной анкеты к определённой группе, чтобы при вводе информации в базу данных выбирать из предварительно настра­иваемого набора номеров или типов групп. На следующих рисунках приведен вид экрана при работе с программой обработки данных для трёхфакторной регрессионной модели, однако количество полей факторных признаков можно без труда увеличить. Экранная форма СLARION – при­ложения, размещённая ниже см. рис. 3.12, иллюстрирует процесс добавления и корректировки информации анкет в базу данных, затем экспорт заполненной таблицы в табличный процессор MS Excel.

Рис. 3.12.

Результаты выполнения расчётов, необходимых для формирования системы нормальных уравнений. По исходной таблице 3.1 таблицы 3.2, 3.3 формируются дополнительно. Итоговые значения по столбцам формируются с помощью функции СУММ() табличного процессора MS Excel.

Таблица 3.2

Таблица 3.3

На основании полученных коэффициентов составляем систему нормальных уравнений в матричном виде:

Эта же система в виде линейных алгебраических уравнений:

Для упрощения вычислений выполним приведение уравнений системы, разделив каждое её уравнение на коэффициент при переменной а₀:

Вычислим главный определитель системы, если он отличен от нуля, то система имеет решение и его можно получить методом Крамера.

С помощью функции МОПРЕД() получили значение главного определителя системы: D=5639805,69¹0, поэтому необходимо вычислять другие определители, требуемые для нахождения переменных а₀,а₁,а₂,а₃. Считаем определитель D₀, полученный из главного заменой первого столбца а₀ на вектор у:

Получаем значение коэффициента а₀ делением D₀ на D: =106,73

Считаем с помощью функции МОПРЕД() определитель D₁, полученный из главного заменой второго столбца а₁ на вектор у:

Получаем значение коэффициента а₁ делением D₁ на D: = =-0,00001.

Считаем с помощью функции МОПРЕД() определитель D₂, полученный из главного заменой третьего столбца а₂ на вектор у:

Получаем значение коэффициента а₂ делением D₂ на D: = - 0,13

Считаем с помощью функции МОПРЕД() определитель D₃, полученный из главного заменой четвёртого столбца а₃ на вектор у:

Получаем значение коэффициента а₃ делением D₃ на D: = 0,14.

Получили уравнение регрессионной модели: у=106,73 – 0,00001х₁ – 0,13012х₂+ + 0,14264х₃.

По изложенным выше сведениям об этапах построения регрессионных моделей вы­числение коэффициентов корреляции и выявление тесноты связей между результативным и факторными признаками выполняется на первом этапе построения упомянутых моделей. Для определения тесноты связи результативного признака (среднемесячного количества реализо­ванной продукции у) с определяющими его факторами (средней ценой изделия х1, средней производительностью изделия х2, затратами на эксплуатацию одного изделия каждого вида оборудования х3) и влияния определяющих признаков друг на друга вычисляются парные коэффициенты корреляции r_yx1, r_yx2, r_yx3, r_x1x2, r_x1x3, r_x2x3.

, где - выборочное среднее значение переменных х₁, у по всем группам значений переменных, , , где m – количество групп исследуемых изделий, размерность выборки. Аналогично рассчитываются значения r_yx2, r_yx3 по приведённым выше формулам, только переменная х₁ заменяется на х₂ или на х₃ соответственно. Аналогично рассчитываются коэффициенты корреляции определяющих признаков друг на друга:

где - выборочное среднее значение переменных х₁, x₂ по всем группам значений переменных,

, , где m – количество групп исследуемых изделий, размерность выборки. Аналогично рассчитываются коэффициенты корреляции r_x2x3, r_x1x3 с необходимой корректировкой приведённых выше формул. Все расчёты выполнены с помощью табличного процессора MS Excel.

На основании построенного уравнения регрессии, выра­жающего зависи­мость между количеством реализованной продукции, её ценой, произво­дительностью, затратами на её эксплуатацию, можно сделать следующее заключение: при воз­рас­тании цены и производительности прачечного обо­рудо­ва­ния спрос на неё падает, объём реализованной про­дукции с ростом затрат на эксплуатацию и обслу­жи­вание ма­шин растёт. Такая эконометрическая модель соот­ветствует реальной ситуации, так как наиболь­шие затраты при эксплуатации имеют стиральные маши­ны и стирально-отжимные уста­новки, именно они пользуются спросом у потребителей по сравнению с центрифугами, су­шильными машинами и каландрами гладильными, так как являются самым необходимым оборудованием прачечных. Теперь, на основании рассчитанных выше парных коэффициентов корреляции, можно сделать заклю­чение о тесноте связи между результативным и определяющими признаками. Наибольшее влияние на количество реализованной продукции оказывает цена изделий (r_yx1 = - 0,65), причём, если цена возрастает, объём проданных изделий убывает (характер связи – обратный). Почти не связаны между собой объём реализованного прачечного оборудования и производительность изделий (r_yx2 = 0,04), причём произ­водительность изделий оказывает наименьшее влияние на выбор их потребителем, незначи­тельная связь между объёмом проданной продукции и затратами на её эксплуатацию (r_yx3 = -0,14). Связь определяющих факторов друг на друга отражают следующие коэффициенты корреляции: r_x1х2 = = - 0,32, r_x1х3 = 0,65, r_x2х3 = - 0,197. Наиболее взаимосвязаны (или оказывают влияние друг на друга) средняя цена изделий и затраты на их эксплуатацию.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной трёхфакторной модели рассчитываются по формулам:

. Частные коэффициенты эластичности показывают на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1 %, а значения других признаков останутся неизменными. Для построенной регрессионной модели:

Это означает, что если средняя цена на продукцию возрастёт на 1%, то спрос на изделия уменьшится на 0,01 %, если средняя произ­водительность изделий возрастёт на 1 %, то спрос на изделия умень­шится на 0,13 %, если затраты на эксплуатацию продукции возрастут на 1 %, то спрос на изделия увеличится на 0,20 % - это справедливо, потому что наиболее «за­тратными» в период эксплуатации являются стиральные машины, они же являются самыми реализуемыми изделиями.

Задачей третьего этапа построения регрессионных моделей является вычисление коэф­фи­циента детерминации или коэффициента множественной корреляции, на основании которого можно сделать заключение о значимости построенной регрессионной модели и возможности её дальнейшего использования для объяснения и анализа процессов и управления сбытом продукции на ОАО «Вяземский машиностроительный завод». Коэффициент множественной корреляции определяется по формуле: R_xy = , где K_x^{- 1} – обратная матрица корреляции, а матрица корреляции факторных признаков x₁, x₂, x₃ имеет вид:

причём данная матрица будет симметричной, так как r_x1х2 = r_x2х1, r_x1х3 = r_x3х1, r_x2х3 = r_x3х2.

Вектор = - вектор коэффициентов парной регрессии результативного признака Y и факторных признаков X₁, X₂, X₃. Для рассчитанной регрессионной модели имеем:

Þ и .

На осно­вании приведённых исходных данных коэффициент множественной корреляции R_xy = 0,88, а коэффициент детерминации R_xy² = D = 0,77, что указывает на довольно высокую досто­верность построенной регрессионной модели. Это означает, что её применение для объяснения процессов реализации продукции «Вяземским машиностроительным заводом» вполне возможно.