Покажем, что задача вычисления прообраза сводится к вычислению образа.
Теорема. Для любого n матрица 
обладает свойствами:
Матрица 
унитарная, то есть 
.
Матрица симметричная.
, где 
- симметричная матрица перестановок, имеющая вид 
.
.
Доказательство. По определению произведения матриц, элемент стоящий на пересечений строки i и столбца j матрицы 
равен 
. Если 
, то каждый элемент суммы равен 1, а вся сумма n. Если 
, то свернув сумму по формуле суммы членов геометрической прогрессии получим 
. Тем самым установлена формула 
. Аналогично доказывается и вторая часть равенства свойства 1.
Свойство 2 очевидно. Свойство 3 проверяется прямым вычислением. В матрице 
элемент, стоящий на пересечении строки i и столбца j равен 
. Именно таким образом определяются элементы матрицы 
. Свойство 4 следует из свойства 3 и равенства 
.
Задача вычисления прообраза вектора 
по формулам 
сводится к задаче вычисления его образа.
