Смешанная система счисления

В «обычной» позиционной системе счисления диапазон цифр, не зависит от номера разряда и определяется только основанием системы. В жизни встречаются более сложные формы представления чисел. Например, при исчислении времени используется формат {часы},{минуты}. На первом месте располагается целое число из отрезка [0,23], а на втором месте стоит целое число из отрезка [0,59]. Более сложная система используется при исчислении дат {число},{месяц},{год}. В этом примере {число} зависит от {месяц} и {год}.

Пусть натуральные числа больше двух. Число , удовлетворяющее неравенствам , единственным образом записывается в виде , где .Цифра является остатком от деления на , цифра равняется остатку от деления на , и так далее.

Данное представление числа называется его представлением в смешанной системе счисления.

Для представления отрицательных чисел можно использовать знаковый разряд, либо изменить диапазон изменения цифр. Например, можно потребовать выполнения неравенств , где и целые числа, ближайшие к , удовлетворяющие неравенствам . Легко убедиться, что целое число из диапазона представляется единственным образом в виде , где .

В общем случае, указанный диапазон изменения числа не является симметричным. Но если все числа нечетны, то , а если среди чисел четным является только первое число, то .

Числа по смешанным основаниям можно складывать и вычитать, используя непосредственное обобщение обычных алгоритмов сложения и вычитания, при условии, конечно, что для обоих операндов используется одна и та же система. Подобным же образом легко умножать или делить числа в смешанной системе счисления на малые числа, используя простые обобщения общеизвестных приемов счета при помощи карандаша и бумаги.