Вычисление определенного интеграла исторически обусловлено задачей расчета площадей различных фигур. Согласно “теореме о среднем” определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке "xi" этого отрезка:
b f(xi)
S = ò f(x)*dx =(b-a)*f(xi); a <= xi <= b,
a
a xi b
где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования.
Таким образом, определенный интеграл равен площади прямоугольника с основанием длиной "b-a" и высотой "f(xi)". Здесь значение xi, а значит и f(xi) неизвестно. Однако, если отрезок интегрирования разбить на много малых отрезков "dxi", в которых значение функции f(xi) можно принять постоянным, то
b
S = ò f(x)*dx = f(x1)*dx1 + f(x2)*dx2 + f(x3)*dx3 + ... + f(xN)*dxN;
a
где dx1 + dx2 + dx3 + . . . + dxN = b - a;
Вычисление определенного интеграла по приведенной выше формуле называется численным интегрированием. Численное интегрирование применяют при решении различных задач, например: при определении площадей сложных геометрических фигур, определении работы сил, расчете длины траектории точки и в других случаях, когда подынтегральная функция "f(x)"задана по точкам, имеет сложное аналитическое выражение или ее первообразная не определяется аналитически. Сущность численных методов интегрирования состоит в различной замене (интерполяции) сложной подынтегральной функции на малых отрезках простой функцией, либо в представлении подынтегральной функции в виде сходящегося бесконечного ряда.
Рассмотрим методы численного интегрирования, основанные на интерполяции подынтегральной функции на малых отрезках равной длины различными видами функций: постоянной, линейной, квадратичной и кубической. Формулы численного интегрирования, получаемые при различных интерполяциях подынтегральной функции, называются квадратурными.
При равномерном разбиении отрезка [a, b] на "N" малых отрезков (интервалов) необходимо определять значения функции "f(xi)" в "M" точках внутри отрезка [a, b].
Метод прямоугольниковоснован на интерполяции функции на малом отрезке постоянным значением. Кривую f(x) на каждом малом интервале "h" заменяют горизонтальной линией, пересекающей кривую в середине отрезка, при этом M=N. Интеграл вычисляется по формуле:
S1 = f1 * h; - на одном отрезке.
S =( f1 + f2 + ... + fM )*h; - на M отрезках.
Здесьfi = f(xi); h = (b-a)/N; xi = a - h/2 + h*i; i = 1, 2, . . . ,
Y Y Y Y
f (x) f (x) f (x) f(x)
a x1 x2 x3 b X a x1 x2 b X a x1 x2 x3 b X a x1 x2 x3 x4 x5 b X
Метод трапеций состоит в том, что кривую f(x) на каждом малом интервале "h" заменяют отрезком прямой, соединяющим точки кривой f(x) на краях этого интервала, при этом M=N-1. Интеграл вычисляется по формуле:
S1 =((fa + fb)/2)* h;- на одном отрезке.
S = ((fa + fb)/2 + f1 + f2 + ... + fM )*h;- на N отрезках.
Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/N; xi = a + h*i;i = 1, 2, . . . , M.
Метод Симпсона основан на интерполяции функции на малом отрезке квадратичной параболой, проходящей через крайние и среднюю точки кривой f(x). При этом M=2*N-1, а интеграл вычисляется по формуле:
S1 =((fa + 4*f1 + fb)/3)* h- на одном отрезке.
S=(fa+fb+ 2*(f2+f4+...+fM-2)+ 4*(f1+f3+...+fM-1))*h/3; - на N отрезках.
Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/(2*N); xi = a + h*i; i = 1, 2, . . . , M.
Метод "трех восьмых" основан на интерполяции функции на малом отрезке кубической параболой, проходящей через крайние и две равноотстоящие по "x" точки кривой f(x). При этом M=3*N-1, а интеграл вычисляется по формуле:
S1 =((fa + 3*(f1+f2) + fb)*3/8)* h- на одном отрезке.
S = (fa+fb+ 2*(f3+f6+...+fM-3)+ 3*(f1+f2+...+fM-1))*3*h/8; - на N отрезках.
Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/(3*N); xi = a + h*i; i = 1, 2, . . . , M.
Операторы для вычисления интеграла в этом случае имеют вид:
m:= 3*n-1; h:= (b-a)/(3*n); s:= f(a) + f(b);
for i:=1 to m do begin
x:= a+h*i; if i mod 3 = 0 then S:= S+2*f(x) else S:= S+3*f(x)
end;
S:= 3/8*S*h;
Отметим, что методы прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, формулы Симпсона и "трех восьмых" - для многочленов третьей степени.
b f(xi)
Y Y Y Y
f (x) f (x) f (x) f(x)
