Непрерывно-стохастические модели

Такие модели рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания, которые называют Q–схемами. Такие Q-схемы применяются при формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

К процессам обслуживания можно отнести: потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов сети ЭВМ. Характерным признаком для функционирования таких систем или сетей является случайное появление заявок на обслуживание. Причем в любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания и, собственно, сам процесс обслуживания заявки. Это можно отобразить в виде некоторого прибора обслуживания П_i (рис. 3.7), состоящего из накопителя заявок Н_i , в котором может находится одновременно заявок; К_i – канал обслуживания заявок. На каждый элемент прибора П_i поступают потоки событий, в накопитель Н_i поток заявок , на канал К_i – поток обслуживания И_i.

Рис. 3.7. Прибор обслуживания

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий.

Потоки событий называются однородными, если он характеризуется только последовательностью поступления этих событий { }, где – момент наступления -го события. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между -м и ( )-м событием.

Потоком неоднородных событий называется последовательность, характеризуемая вызываемыми моментами и набором признаков:

{ }

Признаками события, например, могут быть: источник заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

Пусть имеется поток, в котором события разделены интервалами времени , которые независимы между собой. Тогда такой поток называется потоком с ограниченным последействием.

Рис. 3.8. Поток событий:

– интервал между событиями, – время наблюдения, –момент совершения события.

Интенсивность потока равна

где число событий за время наблюдения.

Если , либо определяется какой-либо зависимостью, например,

то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным.

Случайные потоки бывают:

– ординарными, когда вероятность одновременного появления 2-х и более событий равна нулю;

– стационарными, когда частота появления событий постоянная;

– без последействия, когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени попадает больше одного события пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени попадает ровно одно событие.

Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени зависит лишь от длины этого участка и не зависит от того, где расположен этот участок на оси времен.

Интенсивностью ординарного потока называется предел отношения среднего числа событий за время к длине :

Для стационарного потока его интенсивность не зависит от времени и представляет собой постоянное значение, равное среднему числу событий, наступающих в единицу времени

Обычно применительно к каналу К_i считают, что поток заявок на входе К_i образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания И_i – образует подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом , и заявки, которые по различным причинам вышли и прибора необслуженными образуют выходной поток У_i. Процесс функционировании прибора описывается как процесс изменения количества заявок и состояния канала (0 – канал занят, 1 – свободен).

Если каналы различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание. Если приборы и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание. Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой Q-схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент, т. е. обратная связь отсутствует, а в замкнутых Q-схемах имеются обратные связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном движению вход-выход.

Неоднородность заявок, отражающая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введения классов приоритетов. Различают статические и динамические приоритеты. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы. Динамические приоритеты возникают при моделировании в зависимости от возникающих ситуаций. Приоритеты можно разделить на относительные и абсолютные.

Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель прерывает обслуживание заявки с более низким приоритетом и сама занимает канал (при этом вытесненная заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в накопителе). Если приоритет заявок отсутствует, то алгоритм обслуживания называется бесприоритетным.

Следует отметить, что непрерывно-стохастические модели используются также при исследовании систем автоматического управления, подверженных случайным воздействиям.