Особенности коррелирования рядов динамики

Во многих исследованиях приходится изучать динамику нескольких показателей одновременно, т.е. рассматривать параллельно несколько рядов динамики. В этом случае возникает необходимость измерить зависимость между ними, вернее, определить, насколько изменения уровней одного ряда зависят от изменения уровней другого ряда. Эта задача решается путем коррелирования рядов динамики.

Однако при этом возникает следующая проблема: если показатели ряда x и ряда y рассматривать как функцию времени, т.е. x = f(t) и y = f(t), то при однонаправленности их трендов можно получить большое значение коэффициента корреляции между x и y даже тогда, когда они независимы, именно в силу однонаправленности их изменения.

Поэтому, прежде чем коррелировать ряды динамики, необходимо установить путем логического (качественного) анализа, возможна ли связь между исследуемыми показателями x и y. Кроме того, одно из условий корреляции – независимость отдельных значений переменных множества x, так же как и множества y. Для рядов динамики это равнозначно отсутствию автокорреляции между уровнями ряда, т.е. отсутствию зависимости между последовательными (соседними) уровнями ряда динамики. Другими словами, прежде чем коррелировать ряды динамики, необходимо проверить каждый ряд на автокорреляцию.

Если исходные фактические уровни ряда, относящиеся к определенному моменту (периоду) времени t, обозначить через y_t, то сдвинутые на один момент (период) уровни обозначают y_t_-1. Тогда, подставив в формулу коэффициента корреляции (5) значения y_t и y_t_-1, получим формулу:

а поскольку и , получим следующие формулы[9] для расчета коэффициента автокорреляции:

, (10) или .

Сдвинутый (укороченный) ряд условно дополняют, принимая y₁ = y_n (чтобы сдвинутый ряд не укорачивался и чтобы средний уровень и дисперсия исходного и сдвинутого рядов были одинаковы).

Найденное по формуле (10) или Ошибка! Источник ссылки не найден.[10] значение коэффициента автокорреляции само по себе еще не говорит о наличии или отсутствии автокорреляции. Его нужно сравнить с критическим.

Существуют специальные таблицы, в которых для разного числа членов ряда n и разных уровней значимости α определено критическое значение коэффициента автокорреляции: если найденное по формуле (10) или Ошибка! Источник ссылки не найден. значение окажется меньше критического, то автокорреляция отсутствует. Одна из таких таблиц, составленная Р. Андерсоном, приведена в Приложении 5.

В нашем примере про внешнеторговый оборот и таможенные платежи проверим оба эти ряда динамики на автокорреляцию с помощью формулы (10), для чего построим таблицу 7.

Таблица 7. Вспомогательные расчеты для проверки на автокорреляцию

Месяц	x_t	x_t-1	x_t x_t-1	x_t²	y_t	y_t-1	y_t y_t-1	y_t²
	27,068	46,298	1253,194	732,677	172,170	278,870	48013,048	29642,509
	29,889	27,068	809,035	893,352	200,900	172,170	34588,953	40360,810
	34,444	29,889	1029,497	1186,389	231,830	200,900	46574,647	53745,149
	33,158	34,444	1142,094	1099,453	232,100	231,830	53807,743	53870,410
	37,755	33,158	1251,880	1425,440	233,400	232,100	54172,140	54475,560
	37,554	37,755	1417,851	1410,303	236,990	233,400	55313,466	56164,260
	37,299	37,554	1400,727	1391,215	246,530	236,990	58425,145	60777,041
	40,370	37,299	1505,761	1629,737	253,620	246,530	62524,939	64323,104
	37,909	40,370	1530,386	1437,092	256,430	253,620	65035,777	65756,345
	38,348	37,909	1453,734	1470,569	261,890	256,430	67156,453	68586,372
	39,137	38,348	1500,826	1531,705	259,360	261,890	67923,790	67267,610
	46,298	39,137	1811,965	2143,505	278,870	259,360	72327,723	77768,477
Итого	439,229	439,229	16106,951	16351,437	2864,090	2864,090	685863,823	692737,647

Теперь по формуле (10) для ряда x: r_a == 0,111.

Аналогично по формуле (10) для ряда y: r_a == 0,249.

По таблице Приложения 5 определяем критическое (предельное) значение коэффициента корреляции для числа уровней n = 12 и уровне значимости α = 0,05. Оно равно 0,348. Оба рассчитанных значения оказались меньше критического, значит автокорреляция между уровнями в обоих рядах динамики отсутствует, следовательно, можно коррелировать уровни x и y.

Исключение автокорреляции в рядах динамики. Если между уровнями ряда (при коррелировании рядов динамики) существует автокорреляция, она должна быть устранена. Есть несколько способов исключения автокорреляции в рядах динамики. Наиболее простой – коррелирование отклонений от выравненных уровней. Для этого каждый ряд динамики выравнивают по определенной для него аналитической формуле (т.е. находят и )[11], затем из эмпирических уровней вычитают выравненные (т.е. находят остаточные величины[12], не описываемые уравнением тренда: и ). Так как остаточные величины могут содержать автокорреляцию (например, в случае недостаточно точно подобранного уравнения тренда), необходимо убедиться, что между ними автокорреляция отсутствует. Лишь после этого можно определять тесноту связи между d_x и d_y. Формулу коэффициента корреляции между остаточными величинами можно записать в следующем виде: