Методы решения математических моделей в классе ОДУ

Методы решения ОДУ можно разделить на следующие группы (рис.4.10).

4.3.1. Численные методы

Численные методы позволяют получить искомое решение дифференциального уравнения (4.23) в форме таблицы его приближенных значений для заданной последовательности значенийаргумента .

Непрерывный отрезок , на котором требуется получить решение дифференциального уравнения, заменяют конечной последовательностью дискретных точек (узловых точек).

Величина называется шагом интегрирования.

Численные методы делятся на два класса: одношаговые и многошаговые.

Одношаговые методы действуют по принципу:

(4.32)

т. е. для расчета следующего значения решения достаточно знать только текущее значение (методы Эйлера, Рунге-Кутта).

Многошаговые методы используют такую процедуру:

(4.33)

К ним относятся методы Адамса, Милна.

В основе одношаговых методов лежит следующая идея: искомое решение дифференциального уравнения в окрестности текущей точки можно представить в виде ряда Тейлора.

Учитывая, что , получим:

(4.34)

Производится усечение ряда Тейлора. Количество оставшихся членов ряда определяет порядок численного метода и, соответственно, еготочность. При этом операция вычисления производных заменяется последовательностью простейших операций над значениями функции f(t,y) в нескольких точках интервала .

4.3.2. Метод Рунге-Кутта

Пусть на отрезке требуется найти численное решение диффе-ренциального уравнения

(4.35)

при начальных условиях .

Разбиваем отрезок на равных частей точками

, (4.36)

где i = 0,1,2,3, … n; − шаг интегрирования.

Тогда каждое последующее значение искомого решения y будет определяться так:

, (4.37)

где

(4.38)

здесь

(4.39)

(4.40)

, (4.41)

. (4.42)

Это метод Рунге-Кутта 4-го порядка, одношаговый, обладает достаточной точностью, его погрешность − ( ).

Метод Рунге-Кутта применяется также для решения систем дифференциальных уравнений. В этом случае от скалярной формы записи выражений переходят к векторной: y →Y, f(t,y) → F(t,Y).

Чтобы применить метод Рунге-Кутта к дифференциальному уравнению n-го порядка

y⁽ⁿ⁾ = f(t,y,y′,y″, … ,y⁽ⁿ^-1)), (4.43)

следует свести его к системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка (в форме Коши).

Для этого вводятся обозначения для производных: y′=y₁; y″=y₂; y′′′=y₃; y⁽ⁿ^-1⁾=y_n_-1; y⁽ⁿ)= y_n.

Тогда результирующая система дифференциальных уравнений будет иметь вид:

(4.44)

П р и м е р 24.Преобразуем дифференциальное уравнение 3-го порядка

y′′′ = –y +5ty″+ t³(4.45)

к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка в форме Коши.

Введем обозначения: y′=y₁; y″= y₂, тогда система будет иметь вид:

(4.46)

5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ СИСТЕМ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Математические модели для систем с распределенными параметрами формируются на основе дифференциальных уравненийсчастными производными. Физические процессы в таких системах являются не только функциями времени, но и функциями пространственных координат.

П р и м е р 25.Моделируемый объект – двухпроводная линия. Схема замещения линии с потерями представлена на рис. 5.1, где x –пространственная координата; из-за утечки тока через изоляцию между проводами.

Линия характеризуется параметрами, задаваемыми на единицу длины:

R₀, L₀– продольные активное сопротивление и индуктивность;

G₀, C₀ – поперечные проводимость и емкость – параметры изоляции между проводами.

Математическая модель в общем случае имеет вид:

− (5.1)

это система двух дифференциальных уравнений в частных производных, где u = u(t,x) и i = i(t,x).

В результате решения модели (5.1) определяются процессы u=u(t,x) и i=i(t,x), т. е. напряжение и ток как функции времени t и пространственной координаты x.

П р и м е р 26.Уравнение теплопроводности – математическая модель, описывающая процесс распространения тепла.

Рассмотрим простейший вариант.

Тонкий однородный стержень(рис. 5.2), длиной l, изолированный в тепловом отношении от окружающей среды. На концах стержня поддерживается некоторая температура – постоянная или меняющаяся во времени по какому-либо заданному закону.

Требуется определить закон распределения температуры T в любой точке стержня x в любой момент времени t.

Применим математическую модель вида:

, (5.2)

где a −коэффициент температуропроводности, опреде-ляемый как

, (5.3)

где − коэффициент теплопроводности;

− удельная теплоемкость;

ρ−плотность материала стержня.

Чтобы решить уравнение (5.2) в частных производных, необходимо задать начальные условия:

, (5.4)

где −начальное распределение температуры в стержне, при t=0,

и граничные условия:

T(0,t)=α(t) (5.5)

и

T(1,t)=β(t), (5.6)

где α (t) и β (t) − закон изменения температуры в левом и правом концах стержня.

Тогда решение уравнения T(x,t) будет функцией двух переменных – пространственной координаты x и времени t (рис. 5.3).

Если внутри стержня имеются источники тепла или поглотители тепла, то математическая модель усложняется:

, (5.7)

где − объемная плотность теплового источника.

Математическая модель, описывающая процесс передачи тепла в однородной среде, представляет собой трехмерное уравнение теплопроводности:

(5.8)

Решением уравнения (5.8) будет функция T(x,y,z,t), позволяющая определить температуру T в любой точке среды с координатами (x,y,z) в любой момент времени t.

Эта модель позволяет найти закон распределения тепла внутри заданного твердого тела, ограниченного поверхностью S, для чего задаются начальные условия:

T(x,y,z,0) = (5.9)

где − начальное распределение температуры внутри тела при t = 0,

и граничные условия:

T(x,y,z,t)_на_S = f(x,y,z,t), (5.10)

где f(x,y,z,t) − функция, определяющая распределение температуры во всех точках на поверхности S в любой момент времени t.

Модель (5.8) описывает и ряд других процессов различной физической природы: диффузию одного вещества в другое, проникновение магнитного поля в плазму, поведение нейтронов в ядерном реакторе и т. д.

Математическое моделирование процесса движения сжимаемого газа, распространения возмущений электромагнитных полей, исследование колебаний приводит к так называемому волновому уравнению:

(5.11)

где a – скорость распространения возмущений.

Таким образом, волновое уравнение описывает процесс распространения возмущений в некоторой среде.