Задача № 1. Составление безразмерных комплексов подобия явлений по дифференциальным уравнениям.

Существует следующее правило составления выражения для безразмерных комплексов подобия из дифференциальных уравнений /2/:

а) в дифференциальном уравнении необходимо отбросить все знаки дифференцирования, все индексы и символы (например суммирования и др.); показатели степеней чисел отбрасывать нельзя;

б) полученное выражение разделить на один из его членов и таким образом получить безразмерные комплексы;

в) используя размерности величин, убедится в том, что полученные комплексы являются безразмерными.

Уравнение 1. Дифференциальное уравнение распространения тепла вдоль оси имеет вид

, (22)

где - температура, ⁰С;

- время, с;

- скорость перемещения источника тепла вдоль оси , см/с;

- коэффициент температуропроводности металла, см²/с.

Вариант 1. Все члены уравнения (22) после отбрасывания индексов и символов делить на первый член уравнения (22).

Пример решения варианта 1.

а) В уравнении (22) отбрасываем все индексы и символы, тогда получим

(22а)

б) Делим (22а) на первый член уравнения

(22б)

После необходимых сокращений получим

. (22в)

в) проверим безразмерность полученных критериев и .

;

.

Ответы: ; .

Вариант 2. Все члены уравнения (22) после отбрасывания индексов и символов делить на второй член уравнения (22).

Вариант 3. Все члены уравнения (22) после отбрасывания индексов и символов делить на третий член уравнения (22).

Уравнеие 2. Для несжимаемой жидкости уравнение движения Навье-Стокса вдоль оси имеет вид:

, (23)

где - плотность жидкости, г/см³;

- время от начала процесса, с;

- ускорение силы тяжести, см/с²;

- давление жидкости, ;

- коэффициент вязкости жидкости, ;

- скорость перемещения жидкости, см/с.

Вариант 4. Все члены уравнения (23) после отбрасывания индексов и символов делить на первый член уравнения (23).

Вариант 5. Все члены уравнения (23) после отбрасывания индексов и символов делить на второй член уравнения (23).

Вариант 6. Все члены уравнения (23) после отбрасывания индексов и символов делить на третий член уравнения (23).

Вариант 7. Все члены уравнения (23) после отбрасывания индексов и символов делить на четвертый член уравнения (23).

Уравнение 3. Предположим, что плотность потока жидкости (или газа) изменяется с изменением температуры , тогда подъемная сила жидкости на единицу объема: , где - коэффициент температурного расширения , т.е. град^-1.

Когда подъемная сила действует по оси , то уравнение движения для этого направления следующее:

, (24)

где - плотность жидкости, г/см³;

- скорость потока жидкости, см/с;

- координата, см;

- давление, ;

- коэффициент вязкости жидкости,

- ускорение силы тяжести, см/с²;

- разность температур в жидкости, град.

Вариант 8. Все члены уравнения (24) после отбрасывания индексов и символов делить на первый член уравнения (24).

Вариант 9. Все члены уравнения (24) после отбрасывания индексов и символов делить на второй член уравнения (24).

Вариант 10. Все члены уравнения (24) после отбрасывания индексов и символов делить на третий член уравнения (24).

Вариант 11. Все члены уравнения (24) после отбрасывания индексов и символов делить на четвертый член уравнения (24).

Уравнение 4. Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости является математическим выражением закона сохранения массы в гидроаэромеханике. Для движения вдоль оси оно может быть записано:

, (25)

где - плотность жидкости, г/см³;

- время, с;

- скорость потока, см/с;

- координата, см.

Вариант 12. Все члены уравнения (25) после отбрасывания индексов и символов делить на первый член уравнения (25).

Вариант 13. Все члены уравнения (25) после отбрасывания индексов и символов делить на второй член уравнения (25).

Уравнение 5. В двумерном течении жидкости вдоль плоской пластины, все характеристики потока зависят от двух координат: - вдоль поверхности и - перпендикулярно к ней. Уравнение конвективной диффузии в потоке жидкости имеет вид:

, (26)

где - скорость потока жидкости соответственно вдоль осей и , см/с.

- концентрация вещества, г/см³;

- коэффициент конвективной диффузии, см²/с.

Вариант 14. Все члены уравнения (26) после отбрасывания индексов и символов делить на первый член уравнения (26).

Вариант 15. Все члены уравнения (26) после отбрасывания индексов и символов делить на второй член уравнения (26).

Уравнение 6. При течении жидкости по твердой поверхности на границе твердое-жидкость возникает тонкий слой жидкости, который не участвует в общем ее движении и носит название пограничного слоя. В пограничном слое уравнение переноса количества движения записывается следующим образом:

, (27)

где - плотность жидкости, г/см³;

- скорость потока жидкости соответственно вдоль осей и , см/с;

- коэффициент вязкости жидкости, ;

- давление, .

Вариант 16. Все члены уравнения (27) после отбрасывания индексов и символов делить на первый член уравнения (27).

Вариант 17. Все члены уравнения (27) после отбрасывания индексов и символов делить на второй член уравнения (27).

Вариант 18. Все члены уравнения (27) после отбрасывания индексов и символов делить на третий член уравнения (27).

Вариант 19. Все члены уравнения (27) после отбрасывания индексов и символов делить на четвертый член уравнения (27).

Уравнение 7. Уравнение диффузии вещества в двухмерном ламинарном потоке на границе жидкость-твердое имеет вид:

, (28)

где - плотность жидкости, г/см³;

- скорость потока жидкости соответственно вдоль поверхности твердого и перпендикулярно к поверхности твердого, см/с;

- коэффициент диффузии вещества, ;

- концентрация диффундирующего

вещества, .

Указание: в выражении (28) все члены уравнения содержат одну и туже величину , она не войдет в безразмерные комплексы и ее можно опустить при отбрасывании индексов и символов.

Вариант 20. Все члены уравнения (28) после отбрасывания индексов и символов делить на первый член уравнения (28).

Вариант 21. Все члены уравнения (28) после отбрасывания индексов и символов делить на второй член уравнения (28).

Вариант 22. Все члены уравнения (28) после отбрасывания индексов и символов делить на третий член уравнения (28).

Уравнение 8. При движении жидкости в пористом параллелепипеде справедливо уравнение:

(29)

где - плотность жидкости, г/см³;

- составляющие скорости потока жидкости соответственно вдоль осей , см/с;

- безразмерный коэффициент пористости среды.

Вариант 23. Все члены уравнения (29) после отбрасывания индексов и символов делить на первый член уравнения (29).

Вариант 24. Все члены уравнения (29) после отбрасывания индексов и символов делить на четвертый член уравнения (29).