А) краткое теоретическое введение

Многоканальные СМО рассматриваются как математические схемы(Q- схемы) для моделирования процесса функционирования систем обслуживания, в которых имеются несколько независимых каналов ( приборов, устройств) обслуживания. Типовая схема такой системы изображена на Рис.4.1.

Рис.4.1 Логическая схема многоканальной СМО.:

И- внешний источник, …, -каналы

.

Как и в одноканальной системе, предполагается, что заявки поступают на вход системы в случайные моменты времени , …, и при наличии свободных каналов непосредственно поступают на обслуживание. В противном случае они становится в очередь и обслуживаются в порядке их построения.

Предполагая, что входной поток заявок подчиняется распределению Пуассона (см. формулу (3.1)), а время обслуживания заявок каждым каналом подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром (см. формулу (3.4)), можно построить аналитическую модель работы многоканальной системы и оценить ее характеристики. Если обозначить через вероятность нахождения в системе равно n заявок в произвольный момент времени t, n = 0, 1…., то, как известно из теории массового обслуживания, для P_n(t) получим следующую систему дифференциальных уравнений

В этих формулах m - число обслуживающих каналов системы.

Установившееся решение можно получить, полагая в этих уравнениях условие при , n = 0, 1, 2, …:

В предположении, что , из этой системы получим следующие выражения для установившегося значения :

где

С помощью этих формул рассчитываются основные характеристики работы системы в установившемся режиме:

- вероятность простоя системы - ;

- вероятность занятости всех каналов ( вероятность наличия в системе заявок)

(4.1)

- вероятность наличия в очереди ровно М заявок

(4.2)

- среднее количество свободных от обслуживания каналов

(4.3)

- коэффициент простоя

(4.4)

- коэффициент загрузки каналов (системы)

(4.5)

- средняя длина очереди

(4.6)

- среднее число заявок в системе

(4.7)

где - среднее число обслуженных заявок;

- среднее время ожидания заявок в очереди

(4.8)

среднее время обслуживания заявок

(4.9)

- среднее время пребывания заявок в системе

(4.10)

где вычисляется по формуле (4.8)