Ниже в таблице приведены результаты моделирования, представленные в виде временных рядов, которые характеризуют хозяйственную деятельность исследуемой фирмы (организации) за последние 24 года. Эти данные, а также результаты их обработки мы будем использовать с целью идентификации параметров производственной функции Кобба – Дугласа в виде
, а1 + а2 ≠ 1, (7.85)
По данным таблицы МНК- оценка коэффициентов регрессии получается равной
Параметры b1 и b2 имеют стандартное отклонение
Значение t-статистики при нулевой гипотезе Н0: β1=0 составляет величину
Выберем, как и раньше, уровень значимости α = 0.05. Поскольку N = 24 и n = 2, число степеней свободы равно υ = N – n – 1 = 21. Табличное значение t-статистки равно tα/2(υ) = t0.025(21) = 2.0796. Обе оценки (7.86) и (7.87) превышают табличный уровень, следовательно гипотезы Н0: βi=0, i = 1, 2, отвергаются, то есть считается, что оценки b1 и b2 значимо отличаются от нуля. Как правило, в таком случае вся модель также оказывается значимой (то есть, пригодной для практических целей). Доверительные интервалы для параметров β1 и β2 равны соответственно
(7.89)
(7.90)
Эти результаты означают, что с доверительной вероятностью р = 0.95 значения β1 (то есть параметра а1) лежат в интервале [0.468, 1.066], а значения β2 (то есть параметра а2) принадлежат интервалу [0.112, 0.378].
Рассмотрим теперь случай, когда α + β = 1 (см. формулы (7.80) – (7.82)). МНК -оценки для этого случая получаются равными b0 = 1.01, b1= 0.25 и
Другими словами,
(Yt/Lt) = 1.01 · (Kt/Lt)0.25. (7.91)
Из (7.91) следует, что
Yt = 1.01 · Lt0.75Kt0,25. (7.92)
Проверим на значимость параметр b1. Его t-статистика при нулевой гипотезе Н0: β1 = 0 равна
(7.93)
Табличное значение этой статистики при уровне значимости α = 0.05 и числе степеней свободы υ = 24 - 2 = 22 равно tα/2(υ) = 2.074. Как видно, расчетное значение (4.8) существенно превышает табличное, следовательно, как и раньше, гипотеза Н0: β1 = 0 отвергается, то есть считается, что параметр b1 значимо отличается от нуля, а построенная модель (4.7) близка к экспериментальным данным.
Рассмотрим, наконец, случай, когда в производственной функции учитывается роль научно-технического прогресса. Новые значения МНК - оценок равны b0 = 1.001; b1 = 0.163, b2 = 0.0037 со стандартными ошибками
,
В терминах параметров формулы (7.83) получаем
(Yt/Lt) = 1.001 · (Kt/Lt)0.163·е0.0037t, (7.94)
откуда следует, что
Yt= 1.001 · Lt0.837· Kt0.163·е0.0037t. (7.95)
Соответствующие значения t-статистики при нулевой гипотезе Н0: βi=0, i = 1, 2, равны
(7.96)
(7.97)
Табличное значение этой статистики при уровне значимости α = 0.05 и числе степеней свободы υ = N - 3 = 21 равно tα/2(υ) = 2.08. Как видно, оба значения (7.95) и (7.96) меньше, чем табличное, следовательно, гипотеза Н0 подтверждается, т.е. производственная функция (7.93) не адекватна экспериментальным данным и может быть отвергнута.
В заключение данного раздела приведем еще результаты исследований, посвященных экспериментально-статистическим методам идентификации производственной функции, представленной в форме (7.13) или (7.15). В […] приводятся данные идентификации производственной функции энергетической отрасли США, охватывающей интервал времени с 1960г. по 1983г. Построенное уравнение имеет вид
lnYt= -3.15 + 1.103lnLt + 0.705lnKt. (7.98)
со стандартными ошибками для коэффициентов ,
причем оба коэффициента значимы по t-статистике. Этому уравнению соответствует производственная функция
Yt= е-3.15 · Lt1.103· Kt0.705. (7.99)
Второй результат относится к попытке моделирования развития экономики СССР за 1960-1985 г.г. […]. Без учета роли технического прогресса модель имеет вид
Коэффициент детерминации для первой функции равен R2 = 0.9984, для второй - R2 = 0.9982, и обе модели оказываются значимыми. Есть, однако, опасение в том, что характер экономики в течение такого большого интервала времени, как 24-25 лет, вряд ли может быть представлен с помощью одной и той же производственной функции. Более разумно динамизировать описание […], разбив, например, интервал времени t = 1,…, N на отдельные участки. Именно эта стратегия и реализована в приведенных в следующем разделе вариантах заданий: разбиение горизонта наблюдения на три отрезка и построение производственной функции для отдельных отрезков.
Варианты заданий для самостоятельной работы
В таблице вариантов приведены значения параметров t, а1, а2, а3 12 вариантов для построения и исследования соответствующих производственных функций. Результаты наблюдений относительно факторов производства Lt и Kt, а также целевой переменной Ytдля конкретных значений t необходимо взять из таблицы исходных данных, приведенной на странице …..
В таблице вариантов условие а3 = 0 соответствует отсутствию, а а3 ≠ 0 – учету роли научно-технического прогресса в формуле производственной функции. Каждое задание включает обязательное выполнение следующих пунктов:
1)Используя формулы для расчета МНК - оценок регрессионной модели и их дисперсии (см. формулу (2.16) и (2.35)), вычислить значения параметров производственной функции и их стандартные ошибки;
2)С помощью t-статистики Стьюдента оценить значимость полученных оценок и построить их доверительные интервалы, соответствующие уровню значимости α = 0.05;
3)Используя F-статистику Фишера, оценить значимость построенного регрессионного уровня при уровне значимости α = 0.05;
4)Сопоставить оценки параметров построенной производственной функции с аналогичными значениями параметров, полученными для всего диапазона наблюдения t = 1,…, 24, и объяснить отклонения;
5)Используя соотношения (1.3) и (1.4), вычислить, сопоставить и интерпретировать коэффициенты эластичности производственных факторов;
6)С помощью формулы (1.8) вычислить и интерпретировать значение маргинальной (предельной) нормы замещения для факторов труда и капитала;
7)Используя соотношение
(*1)
оценить и объяснить значение эластичности замещения между факторами Lt и Kt;
8)* Пусть Р- стоимость одной единицы выпускаемого изделия, q1 и q2 – стоимость единицы труда и капитала соответственно. Задаваясь конкретными значениями Р, q1 и q2, а также выбирая «разумные» ограничения Q (Lt, Kt) для производственных факторов, сформулировать и решить задачу оптимизации прибыли в виде
П (Lt, qt) = PYt- q1Lt- q2 Kt→ max, (*2)
(Lt, Kt)
Lt, Kt Q (Lt, Kt)
Yt = F (Lt, Kt)
Показать, что в точках, принадлежащих поверхности уровней П (Lt, Кt) = const, справедливо отношение
(*3)
9)* Считается, что функция полезности факторов U (Lt, Кt) имеет такой же вид, что и производственная функция Yt = F (Lt, Kt), т.е., можно положить
а) (*4)
б) (*5)
в зависимости от того, учитывается или нет роль научно-технического прогресса; С1 и С2 – масштабные коэффициенты.
Построить качественную картину кривых безразличия U (Lt, Kt) = const и в некоторой рабочей точке 000000 дать приближенную оценку величины – dLt/dKt. В этой же точке построить направление наискорейшего возрастания функции полезности и дать объяснение условиям
(*6)
10)* Ответить на вопросы пункта 8), полагая в выражении для производственной функции а1 + а2 = 1.
11)* Ответить на вопросы пункта 9) в предположении, что а1 + а2 = 1.
12)* Если предположить, что факторы Ltи Ktзависят непрерывно от заданного набора параметров х1, х2,…, хn экономической системы, т. е. Lt = f1 (х1,…, хn), Kt= f2 (х1,…, хn), где f1 (·), f2 (·) – заданные непрерывно дифференцируемые функции, для маргинальной нормы замещения μLК можно получить выражение […]
(*7)
где S1, S2 – градиенты функций f1 (·) и f2 (·) соответственно в «рабочей» точке , е – направление наискорейшего возрастания функции U (L, K) в точке . .
В предположении, что градиенты S1 и S2 известны, а функция U (L, K) имеет вид (*4) или (*5), найти условие для направления е. Как изменится е, если взаимное расположение векторов S1 и S2 будет меняться? При ответе на данный вопрос следует воспользоваться очевидным соотношением S1Те / S2Те = С, что эквивалентно уравнению
(SТ – С ∙ S2)Те = 0. (*8)
В этих выражениях С – произвольная константа.
tα
α
Примечание. Пункты заданий, отмеченные звездочкой (*), характеризуются повышенной сложностью, поэтому их выполнение рекомендуется поручить особо одаренным студентам или тем, кто претендует на отличную оценку.
Ниже в приложении приводятся табличные значения t- и F-статистик, которые необходимы для выполнения заданий.
Приложение
При выполнении заданий необходимы табличные значения t- и F-статистик. График t-распределения Стьюдента показан на рис. П1.
Рис. П1. Вид t-распределения.
Критическое значение tαсоответствует конкретным значениям числа степеней свободы υ = (N – n – 1) и уровня значимости α. Существует односторонний и двусторонний t-критерий. Так, например, при N = 24, n = 2 и, следовательно, υ = N – n – 1 = 21 из таблицы для t-распределения при α = 0.05 находим tα(υ) = t0.05(21) = 1,7209, tα/2(υ) = t0.025(21) = 2,0796. Последнее значение, в частности, означает, что Р{t > 2.0796} = 0.025, а Р{|t| > 2.0796} = 0.005, где Р – означает вероятность. Первая оценка односторонняя, а вторая – двусторонняя. Для значения объема выборки N = 8 и n = 1, 2, 3 (число параметров производственной функции) критические значения t-статистики следующие: t0.025(6) = 2.4469, t0.025(5) = 2.5706, t0.025(4) = 2.7764, соответствующие значениям υ = N – n – 1 = 4, 5, 6.
График F – распределения показан на рис. П2.
Рис. П2. График F-распределения Фишера.
Кривая распределения определяется двумя степенями свободы: υ1= п (для числителя) и υ2 = N – n – 1 (для знаменателя). Интересно отметить, что имеет место соотношение F1-α (υ1, υ2) = 1/ Fα (υ1, υ2). При α = 0.05, N = 24 и n = 2 получаем υ1 = п = 2, υ2 = N – n – 1 = 21 и F0.05 (2, 21) = 3.467. Это означает, что вероятность того, что значения F больше 3.467, равна 0.05 (заштрихованная площадь на рисунке). Для усеченной выборки (N = 8) при п = 1 имеем F0.05 (3, 4) = 6.591.
В заключение приложения приведем также значения t- и F-статистик, соответствующие объему выборки N = 24.
, а1 + а2 ≠ 1, (7.85)
Параметры b1 и b2 имеют стандартное отклонение
Рассмотрим теперь случай, когда α + β = 1 (см. формулы (7.80) – (7.82)). МНК -оценки для этого случая получаются равными b0 = 1.01, b1= 0.25 и
,
со стандартными ошибками для коэффициентов ,
Q (Lt, Kt)
(*3)
б) (*5)
Построить качественную картину кривых безразличия U (Lt, Kt) = const и в некоторой рабочей точке 000000 дать приближенную оценку величины – dLt/dKt. В этой же точке построить направление наискорейшего возрастания функции полезности и дать объяснение условиям
(*7)
F0.05 (3, 20) = 3.098; t0.025 (22) = 2.0739; t0.05 (22) = 1.7171;