— При изучении зависимости свойств от рецептурно-технологических факторов возникают задачи (определение составов, обеспечивающих желаемое значение свойства, нахождение координат экстремальных точек и т.д.), которые можно решить с помощью различных методов оптимизации. Все задачи оптимизации можно разделить на поиск оптимальных точек непосредственно на объекте исследования и поиск оптимальных точек посредством анализа математической модели. Мы рассмотрим первую из перечисленных проблем в одномерном варианте.
— Суть методов одномерного поиска (методов исключения) состоит в следующем. Предположим, что точка экстремума достигается при каком-то значении фактора X' из заранее известного интервала (Xmin, Xmax), называемого интервалом неопределенности. Требуется с помощью наименьшего количества опытов в максимальной степени сузить длину этого интервала, последовательно исключая из рассмотрения те его части, в которых нахождение точки экстремума оказывается невозможным. При этом предполагается, что функция отклика Y(X) унимодальна, т.е. обладает единственным экстремумом в точке X' (согласно договоренности – максимумом), и не имеет участков постоянства, т.е. для всех X(1)<X(2)£X' справедливо Y(X(1))<Y(X(2)), а для X'£X(3)<X(4) верно Y(X(3))>Y(X(4)).
— В этих условиях для того, чтобы уменьшить длину исходного интервала неопределенности L=Xmax-Xmin, необходимо иметь, как минимум, два опыта в некоторых точках X(1) и X(2), таких, что Xmin<X(1)<X(2)<Xmax. Могут иметь место только три варианта исходов подобного экспериментирования: а) Y(X(1))<Y(X(2)) - тогда максимум наверняка находится в точке X'>X(1), и первоначальный интервал неопределенности превратится в новый - (X(1), Xmax); б) Y(X(1))>Y(X(2)) - в этом случае максимум может располагаться лишь в точке X'<X(2), и исходный интервал неопределенности следует заменить на (Xmin, X(2)); в) Y(X(1))=Y(X(2)) - случай весьма редкий, означающий, что экстремальная точка находится между значениями X(1) и X(2), новый интервал неопределенности будет (X(1), X(2)).
— Существуют различные методы размещения указанных точек на каждом этапе экспериментирования. Для их сопоставления будем использовать показатель эффективности соответствующего плана эксперимента как отношение длин начального интервала неопределенности и полученного после реализации N опытов LN: E = L / LN
— Метод последовательной дихотомии предусматривает размещение на каждом этапе экспериментирования сразу двух новых точек, расположенных симметрично относительно середины интервала неопределенности на расстоянии e друг от друга. Здесь e – по возможности малая величина, ограниченная снизу разрешающей способностью eдопв измерении величины X. Значение eдоп – это та минимальная разница между соседними наблюдениями X, которая может быть обнаружена инструментально с помощью тех измерительных средств, которые имеются в распоряжении экспериментатора.
Координаты первых двух точек оптимизации определяются следующими соотношениями: X(1) = (Xmax+Xmin–e) / 2; X(2) = (Xmax+Xmin+e) / 2. Координаты экспериментальных точек на последующих этапах исследования определяются по аналогичным формулам с учетом новых границ получающегося интервала неопределенности.
Длина интервала неопределенности после проведения k-й пары опытов равна: LN = L/2k + (1 – 1/2k) – e (N = 2k). Тогда показатель эффективности метода приближенно (e@0) можно считать равным E@2k=2N/2.
Задаваясь допустимой относительной погрешностью d локализации точки экстремума, можно найти количество наблюдений N, которое необходимо для обеспечения желаемой точности в определении ее положения. Действительно, должно быть справедливо d ³ LN/L = 1/2k + (1 - 1/2k) × eдоп / L (N=2k).
С практической точки зрения желательно при данном числе опытов использовать максимально возможное значение e. Поэтому, определив число опытов N, целесообразно затем найти подобное значение e из условия d = 1/2k + (1 - 1/2k) × e / L, k=N/2, т.е. e = (d×2k - 1)×L / (2k - 1), а затем использовать это e при планировании эксперимента. Ясно, что e³eдоп.
Отметим, что следует задаваться такой относительной погрешностью d, чтобы абсолютная ошибка D=d×L была бы не меньше, чем 2eдоп, т.е. d³2eдоп/L, т.к. только в этом случае все экспериментальные точки удалены друг от друга не ближе, чем на eдоп.
— Метод поиска Фибоначчи базируется на использовании чисел Фибоначчи Fk, определяемых рекуррентным соотношением вида: Fk = Fk-1 + Fk-2, k>1, F0=F1=1. Планирование эксперимента производится следующим образом. Координаты X(1) первого эксперимента определяются по следующей формуле: X(1) = Xmin + (FN-1×L + (-1)N×e) / FN. Здесь e³eдоп - малая величина, играющая ту же роль, что и в методе последовательной дихотомии.
Вторая точка X(2) располагается в исходном интервале L симметрично первой. И вообще, поскольку в каждой очередной интервал неопределенности попадает один предыдущий эксперимент, для продолжения поиска новую точку следует располагать в этом интервале симметрично оставшейся. Если обозначить через X(j) координату оставшейся точки на j-ом этапе поиска, а l1(j)и l2(j) - соответственно левую и правую границы очередного интервала неопределенности, то координата X(j+1) новой точки задается таким соотношением: X(j+1) = l1(j) + l2(j) - X(j). Длина интервала неопределенности после проведения N опытов составляет LN = L×(1 + FN-2×e) / FN.
Теперь легко можно определить показатель эффективности метода. В первом приближении он равен E@FN.
В методе поиска Фибоначчи предварительное определение необходимого числа опытов является совершенно обязательным, т.к. значение N используется при расчете координат первой точки. Для определения N следует задаться допустимой относительной погрешностью в определении положения экстремума d и величиной eдоп. Тогда N можно найти с помощью соотношения: d ³ LN / L = (1 + FN-2×eдоп/L) / FN . Значения FN приводятся в таблицах.
После вычисления N можно определить наибольшее e(e³eдоп), гарантирующее прежнее значение d и максимальное удаление экспериментальных точек друг от друга: e = (FN×d - 1)×L / FN-2.
В методе поиска Фибоначчи последняя точка всегда располагается на расстоянии e от одной из предыдущих. Укажем также, что, как и раньше, задаваемое значение d должно соразмеряться с eдоп, т.е. d ³ 2eдоп / L.
— Метод золотого сечения является частной разновидностью метода Фибоначчи и отличается от него лишь тем, что в методе золотого сечения нет необходимости в обязательном предварительном определении общего числа опытов N. Координаты X(1) (первой точки в этом методе) находятся по формуле: X(1) = Xmin + q×L (q = lim (FN-2/FN) = 0.382 (N ® ¥)).
В остальном алгоритм данного метода не отличается от алгоритма метода поиска Фибоначчи. Можно заметить, что при указанном выборе начальной точки каждая новая точка делит очередной интервал неопределенности на две части, причем отношение большей части к меньшей равно отношению всего интервала к его большей части. Деление отрезка подобным образом называется "золотым сечением". Отсюда и наименование метода. Его эффективность после реализации N опытов будет равна E=1/((1-q)N-1)=1/(0.618N-1). Количество опытов может быть найдено исходя из условия: d ³ LN / L = 1 / E = 0.618N-1. Если, как в предыдущих примерах, d=0.05, то N=8.
В методе золотого сечения последняя точка будет располагаться на расстоянии l=(1-2q)LN-1 от одной из предыдущих точек. LN-2=0.618N-2×L и l = (1-2q)×0.618N-2×L = 0.2367×0.618N-2×L. Очевидно, что обязательно должно быть l³eдоп. Отсюда можно получить ограничение на задаваемое значение погрешности d, обусловленное наличием (как и в предыдущих примерах) допустимого приращения eдоп: d ³ (0.618 × eдоп) / (0.236×L) = 2.619 × eдоп / L.
— Сопоставление трех указанных методов между собой позволяет сделать такие выводы: наибольшей эффективностью обладает метод поиска Фибоначчи; метод золотого сечения, мало в чем уступая ему в эффективности, несколько более прост в части проведения расчетов. Наконец, метод последовательной дихотомии наименее эффективен, хотя и представляется наиболее очевидным.
