Дифференциальное уравнение теплопроводности и методы его решения.

— Дифференциальное уравнение теплопроводности (ДУТ) в декартовой системе координат имеет следующий вид:

где Т – температура (К); t – время (с); а – коэффициент тмпературопроводности (м²/с); Ñ²Т=¶²T/¶x²+¶²T/¶y²+¶²T/¶z² (К/м²) – оператор Лапласа (сумма вторых производных от температуры по осям координат), название этого значка Ñ – "набла". Это никакая не буква какого-либо алфавита, это символ, означающий название финикийского музыкального инструмента, у нас он называется "треугольник" – запаянная с одного конца полая металлическая трубка в виде треугольника, по которой ударяют металлической палочкой. Инструмент этот широко применялся старыми мастерами: Бахом, Генделем...; q_v – интенсивность внутренних источников (или стоков) тепла (Вт/м³); С – теплоемкость (Дж/(кг×К)); r – плотность (кг/м³).

— Различают прямую и обратную задачу теплопроводности. В первом случае при определенных заданных условиях определяется температура как функция координат и времени (распределение температур). Во втором случае при заданном распределении температур определяются какие-либо теплофизические характеристики или интенсивность внутренних источников (или стоков) тепла.

— Это уравнение имеет бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственное решение, к уравнению надо присовокупить условия однозначности. Эти условия подразделяются на четыре категории. Геометрические условия (задача решается для тела определенной формы: пластина, цилиндр, шар, конус, тор и т.п.). Физические условия: для определения температуры (прямая задача) необходимо знать численные значения теплофизических характеристик (l, а, С, r) и интенсивность внутренних источников q_v. Начальные (временные) условия: в начальный момент времени (t=0) необходимо знать распределение температур. Граничные условия чаще всего используются I, II и III рода. Граничные условия I рода: при t>0 должна быть известна температура поверхности в любой момент времени. Граничные условия II рода: при t>0 должен быть известен удельный тепловой поток на поверхности в любой момент времени. Граничные условия III рода: при t>0 должна быть известна температура окружающей среды и должен быть задан закон теплового взаимодействия поверхности тела и среды в любой момент времени (в простейшем случае должен быть известен коэффициент теплоотдачи от окружающей среды к поверхности тела, или наоборот).

— Различают три метода решения ДУТ. Аналитические методы в свою очередь подразделяются на метод разделения переменных и метод интегральных преобразований, когда дифференциальное уравнение в частных производных заменяется на обыкновенное дифференциальное уравнение или алгебраическое уравнение. Особое развитие в связи с повсеместным применением вычислительной техники получили численные методы, в которых бесконечно малые приращения функции и аргумента заменяются конечными приращениями. Что же касается метода аналогий, то его применение в настоящее время ограничено.