Цель работы

1. Знакомство с методами численного решения дифференциальных уравнений с частными производными.

2. Разработка численной ММ, реализующей один из методов.

3. Оценка точности полученной ММ при помощи средств MATLAB.

Решение дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП) в аналитическом виде удается только в самых простых случаях. Поэтому становятся особенно важными численные (приближенные) методы решения этих уравнений. Далее будем рассматривать только линейные ДУЧП.

Наиболее широко распространенным и простым методом численного решения линейных ДУЧП является метод сеток или метод конечных разностей, поэтому основной упор сделан на пояснение и описание этого метода.

В общем случае ДУЧП для функции u двух аргументов имеет вид

, (1)

где x, у – независимые переменные, u(x,y) – искомая функция, u_x , u_y , u_xx , u_xy , u_yy – её первые и вторые частные производные по аргументам x и y.

Решением уравнения (1) называется функция и= u(х, у), обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Охуu (интегральная поверхность).

Уравнение (1) называется вполне линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравнение может быть записано в виде

, (2)

причем коэффициенты А, В, С, а, b, с могут зависеть лишь от х и у. В частном случае, если эти коэффициенты не зависят от х и у, то уравнение (2) будет линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Подробнее рассмотрим линейное дифференциальное уравнения (2).

Пусть D=АС–В2 – дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное дифференциальное уравнение (2) относится в заданной области к одному из следующих типов:

D > 0 – эллиптический тип; D = 0 – параболический тип;

D < 0 – гиперболический тип; D не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.

Тип линейного уравнения (2) является его важной особенностью и сохраняется при любом невырожденном преобразовании.

Например, при распределении, не зависящем от времени и отсутствии источников тепла, можно получить уравнение эллиптического типа:

. (3)

Для температуры и=и(х, t) точки однородного тонкого стержня с абсциссой х для каждого момента времени t в одномерном случае можно получить уравнение теплопроводности – параболического типа:

или , (4)

где а – постоянная, зависящая от физических свойств стержня, и F(х, y) –функция, связанная с плотностью источников распределения тепла.

Для некоторой функции и=и(х, t) с абсциссой х для каждого момента времени t можно получить уравнения гиперболического типа:

или . (5)

ДУЧП имеет в общем случае бесчисленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса нужно к уравнению присоединить какие-то дополнительные условия. Эти дополнительные данные в простейшем случае состоят из начальных и краевых (граничных) условий. В сущности, различить эти условия можно лишь в том случае, если одна из независимых переменных дифференциального уравнения играет роль времени, а другая — пространственной координаты (для случая двух независимых переменных). При этом условия, относящиеся к начальному моменту времени, называются начальными, а условия, относящиеся к фиксированным значениям координат (обычно это координаты граничных точек рассматриваемого линейного континуума) – краевыми.

Рассмотрим далее более подробно смешанную (с начальными и краевыми условиями) задачу для уравнения теплопроводности параболического типа однородного стержня 0 ≤ x ≤ l

(6)

u(x,0)=f(x), начальные условия в момент времени t=0,

u(0,t)=φ(t), краевые условия в начале стержня х=0,

u(l,t)=ψ(t), краевые условия на конце стержня x=l,

где u=u(х,t) – температура и t – время (в дальнейшем для простоты будем полагать а=1).

Требуется найти распределение температуры u=u(х,t) вдоль стержня в любой момент времени t.

Метод сеток для данной смешанной задачи предполагает использование следующих расчетных формул по явной схеме:

u_i_,_j₊₁= σ u_i_-1,_j+(1-2σ)u_ij+ σ u_i_+1,_j, (7)

или при σ=1/6

u_i,j+1=1/6(u_i-1,j+4u_ij+u_i+1,j). (8)

Отметим, что для устойчивости конечно-разностной схемы для уравнения теплопроводности шаги h=∆ x_i и k=∆ t_j должны быть неодинаковы, причем выбор шага h для пространственной координаты х накладывает определенные ограничения на величину шага k для временной координаты t. Так как при устойчивой схеме шаг k имеет порядок O(h²), причем отношение σ=k/h² ограничено сверху, то при малом h продвижение решения u(х ,t) по t весьма незначительно и объем работы чрезвычайно велик.

Неявная схема является другой устойчивой вычислительной схемой. Для нее отношение k/h² не является ограниченным сверху и поэтому шаг k=∆t_j временной координаты может быть выбран сравнительно крупным:

u_i-1,j+1–(2+s)u_i,j+1+u_i+1,j+1=-su_ij, (9)

u_o,j+1= φ(t_j+1), (10)

u_n,j+1= ψ(t_j+1), (11)

где s=h²/k.

Систему (9)-(11) неявной схемы можно решить методом прогонки. Пусть

(12)

и, следовательно,

(13)

Подставляя выражение (13) в формулу (9), будем иметь

, или

(14)

Сравнивая это выражение с формулой (12), получим для (i=2, 3,…, n):

, (15)

(16)

При i=1 из формул (9) и (12) имеем

, (17)

. (18)

Отсюда, используя граничные условия, получаем

. (19)

Так как формулы (18) и (19) должны быть тождественны, то, сравнивая их, выводим:

, (20)

. (21)

Пользуясь формулами (15)-(16) и (20)-(21), производя «прогонку» в прямом направлении (прямой ход), определяем две последовательности чисел: и .

Отсюда, применяя формулы для граничных условий (10)-(11) и уравнение (12), с помощью «обратного хода» находим значения искомой функции:

…………………………

Таким образом, указан способ перехода от j-го слоя к (j+1)-му слою. Следовательно, отправляясь от известного начального (нулевого) слоя, можно шаг за шагом построить искомое решение u(х,t) во всех точках сетки (х_i ,t_j).