Цель работы

1. Знакомство с методами численного решения краевых задач для ДУ высших порядков или систем ОДУ.

2. Разработка численной ММ, реализующей один из методов.

3. Оценка точности полученной ММ при помощи средств MATLAB.

Отличие краевой задачи от задачи Коши состоит в том, что решение дифференциального уравнения должно удовлетворять граничным условиям, связывающим значения искомой функции более чем в одной точке. Простейшим представителем краевой задачи является двухточечная граничная задача, для которой граничные условия для функции одного аргумента задаются на концах интервала, на котором ищется решение.

Рассмотрим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка , или с переменными коэффициентами . Пусть на отрезке требуется найти решение этого уравнения, которое должно удовлетворять граничным условиям:

или

, (первое граничное условие в точке a) (1)

, (второе граничное условие в точке b)

где – известные функции, а – заданные числа.

Идея разностных методов решения дифференциальных уравнений состоит в замене области непрерывного изменения аргументов областью дискретного их изменения, а дифференциального уравнения – системой линейных или нелинейных уравнений. Решение последней и является приближенным решением задачи для дифференциального уравнения в некоторых точках.

Для решения краевой (граничной) задачи разностным методом вводится сетка на отрезке , т.е. отрезок разбивается на равных частей. Крайние точки и называют граничными, остальные – внутренними узлами сетки. Будем предполагать, что граничная задача имеет единственное решение , непрерывно дифференцируемое до четвертого порядка включительно.

При использовании трех первых слагаемых в разложении функции в ряд Тейлора в окрестности узлов и получим следующие разностные выражения для аппроксимации первой производной функции :

Величину называют правым разностным отношением первого порядка, а величину – левым разностным отношением первого порядка.

Аналогично можно получить разностные выражения для второй производной

Выражение называется симметричным разностным отношением первого порядка, а – разностным отношением второго порядка. Разностные отношения называют также разностными производными.

Заменяя в исходном ДУ (1) производные разностными отношениями, для внутренних узлов сетки получаем систему алгебраических уравнений:

Отбрасывая остаточный член и обозначая приближенное значение через , получим разностные уравнения:

(3)

где

Аналогично аппроксимируем граничные условия, заменяя входящие в них производные односторонними разностными:

и (4)

Таким образом, получена аппроксимация исходной задачи (1) разностными уравнениями (3)-(4). Коэффициенты уравнений зависят от шага сетки, которые представляют собой однопараметрическое семейство разностных задач, называемое разностной схемой. Порядок аппроксимации разностной схемы определяется максимальной погрешностью . Полученная разностная схема аппроксимирует краевую задачу с погрешностью первого порядка .

Разностную схему первого порядка аппроксимации можно записать:

, (5)

где

Соотношения (5) представляют собой систему (n+1) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений .

Для того чтобы получить для краевой задачи (1) разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации, достаточно улучшить приближение граничных условий (сделать их второго порядка).

На основании разложения в ряд Тейлора в окрестности первой граничной точки (узла ) для первой производной можно записать

С другой стороны с учетом (1) для первой граничной точки . Тогда используя формулы для разностных отношений, получим разностное уравнение, аппроксимирующее первое из граничных условий с погрешностью второго порядка :

Аналогично можно получить разностное уравнение, аппроксимирующее второе из граничных условий с погрешностью второго порядка

Поэтому разностная схема второго порядка аппроксимации также может быть записана в виде (5), но с улучшенными приближениями граничных условий:

;

(6)

Разностная схема (5)-(6) аппроксимирует исходную краевую задачу (1) с погрешностью второго порядка относительно .

Система (5) представляют собой частный случай систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей. Такие системы легко решаются методом прогонки, который представляет собой вариант метода Гаусса. (Подробно о методах решения СЛАУ см. в л.р. № 5)

Будем искать решение системы в виде

. (7)

Прямой ход сводится к последовательному вычислению прогоночных коэффициентов u_i ,v_i по рекуррентным формулам

, (8)

где .

Так как C_N+1 =0, то и остальные неизвестные могут быть вычислены в обратном ходе по рекуррентной формуле (7).

Метод прогонки можно применять, если знаменатели выражений (8) не обращаются в нуль. Для этого достаточно диагонального преобладания матрицы коэффициентов: .

Разностную схему называют устойчивой, если существует такое h_o, что при любом h<h_o и произвольных правых частях r_i и граничных условиях g_i разностная задача имеет единственное решение. Свойство устойчивости является внутренним свойством разностной схемы.

Справедлива следующая основная теорема теории разностных схем: