Регрессия в программе Excel

Статистическая обработка данных может также проводиться с помощью надстройки ПАКЕТ АНАЛИЗА (рис. 62).

Из предложенных пунктов выбирает пункт «РЕГРЕССИЯ» и щелкаем на нем левой кнопкой мыши. Далее нажимаем ОК.

Рис. 62

Появится окно, показанное на рис. 63.

Рис. 63

Инструмент анализа «РЕГРЕССИЯ» применяется для подбора графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или нескольких независимых переменных. Например, на спортивные качества атлета влияют несколько факторов, включая возраст, рост и вес. Можно вычислить степень влияния каждого из этих трех факторов по результатам выступления спортсмена, а затем использовать полученные данные для предсказания выступления другого спортсмена.

Инструмент «Регрессия» использует функцию ЛИНЕЙН.

Диалоговое окно «РЕГРЕССИЯ»

Входной интервал Y Введите ссылку на диапазон зависимых данных. Диапазон должен состоять из одного столбца.

Входной интервал X Введите ссылку на диапазон независимых данных. Эти данные будут расположены слева направо в порядке возрастания. Максимальное число независимых переменных равно 16.

Метки Установите флажок, если первая строка или первый столбец входного диапазона содержит заголовки. Снимите этот флажок, если заголовки отсутствуют. В этом случае подходящие заголовки для данных выходной таблицы будут созданы автоматически.

Уровень надежности Установите флажок, чтобы включить в выходную таблицу итогов дополнительный уровень. В соответствующее поле введите уровень надежности, который следует применить, дополнительно к уровню 95%, применяемому по умолчанию.

Константа - ноль Установите флажок, чтобы линия регрессии прошла через начало координат.

Выходной интервал Введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Отведите как минимум семь столбцов для выходной таблицы итогов, которая будет включать в себя: результаты дисперсионного анализа, коэффициенты, стандартную погрешность вычисления Y, среднеквадратичные отклонения, число наблюдений, стандартные погрешности для коэффициентов.

Новый рабочий лист Установите переключатель в это положение, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа, начиная с ячейки A1. При необходимости введите имя для нового листа в поле, расположенном напротив соответствующего положения переключателя.

Новая рабочая книга Установите переключатель в это положение для создания новой книги, в которой результаты будут добавлены в новый лист.

Остатки Установите флажок для включения остатков в выходную таблицу.

Стандартизированные остатки Установите флажок для включения стандартизированных остатков в выходную таблицу.

График остатков Установите флажок для построения графика остатков для каждой независимой переменной.

График подбора Установите флажок для построения графика зависимости предсказанных значений от наблюдаемых.

График нормальной вероятности Установите флажок, для построения графика нормальной вероятности.

Функция ЛИНЕЙН

Для проведения расчетов выделяем курсором ячейку, в которой хотим отобразить среднее значение и нажимаем на клавиатуре клавишу =. Далее в поле Имя указываем нужную функцию, например СРЗНАЧ (рис. 22).

Функция ЛИНЕЙН рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные и затем возвращает массив, который описывает полученную прямую. Можно также объединять функцию ЛИНЕЙН с другими функциями для вычисления других видов моделей, являющихся линейными в неизвестных параметрах (неизвестные параметры которых являются линейными), включая полиномиальные, логарифмические, экспоненциальные и степенные ряды. Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива.

Уравнение для прямой линии имеет следующий вид:

y=mx+b или

y=m₁x₁+m₂x₂+…+b (в случае нескольких диапазонов значений x),

где зависимое значение y — функция независимого значения x, значения m — коэффициенты, соответствующие каждой независимой переменной x, а b — постоянная. Обратите внимание, что y, x и m могут быть векторами. Функция ЛИНЕЙН возвращает массив{mn;mn-1;…;m₁;b}. ЛИНЕЙН может также возвращать дополнительную регрессионную статистику.

ЛИНЕЙН (известные_значения_y; известные_значения_x; конст; статистика)

Известные_значения_y — множество значений y, которые уже известны для соотношения y=mx+b.

Если массив известные_значения_y имеет один столбец, то каждый столбец массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.

Если массив известные_значения_y имеет одну строку, то каждая строка массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.

Известные_значения_x — необязательное множество значений x, которые уже известны для соотношения y=mx+b.

Массив известные_значения_x может содержать одно или несколько множеств переменных. Если используется только одна переменная, то массивы_известные_значения_y и известные_значения_x могут иметь любую форму — при условии, что они имеют одинаковую размерность. Если используется более одной переменной, то известные_значения_y должны быть вектором (т. е. интервалом высотой в одну строку или шириной в один столбец).

Если массив_известные_значения_x опущен, то предполагается, что этот массив {1;2;3;...} имеет такой же размер, как и массив_известные_значения_y.

Конст — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0.

Если аргумент «конст» имеет значение ИСТИНА или опущен, то константа b вычисляется обычным образом.

Если аргумент «конст» имеет значение ЛОЖЬ, то значение b полагается равным 0 и значения m подбираются таким образом, чтобы выполнялось соотношение y=mx.

Статистика — логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную статистику по регрессии.

Если аргумент «статистика» имеет значение ИСТИНА, функция ЛИНЕЙН возвращает дополнительную регрессионную статистику. Возвращаемый массив будет иметь следующий вид: {mn;mn-1;...;m1;b:sen;sen-1;...;se1;seb:r2;sey:F;df:ssreg;ssresid}.

Если аргумент «статистика» имеет значение ЛОЖЬ или опущен, функция ЛИНЕЙН возвращает только коэффициенты m и постоянную b.

Дополнительная регрессионная статистика.(табл.17)

На приведенном ниже рисунке показано, в каком порядке возвращается дополнительная регрессионная статистика (рис. 64).

Рис.64

Замечания:

Любую прямую можно описать ее наклоном и пересечением с осью y:

Наклон (m): чтобы определить наклон прямой, обычно обозначаемый через m, нужно взять две точки прямой (x₁,y₁) и(x₂,y₂); наклон будет равен (y₂-y₁)/(x₂-x₁).

Y-пересечение (b): Y-пересечением прямой, обычно обозначаемым через b, является значение y для точки, в которой прямая пересекает ось y.

Уравнение прямой имеет вид y=mx+b. Если известны значения m и b, то можно вычислить любую точку на прямой, подставляя значения y или x в уравнение. Можно также воспользоваться функцией ТЕНДЕНЦИЯ.

Если имеется только одна независимая переменная x, можно получить наклон и y-пересечение непосредственно, воспользовавшись следующими формулами:

Наклон: ИНДЕКС (ЛИНЕЙН(известные_значения_y; известные_значения_x); 1)

Y-пересечение: ИНДЕКС (ЛИНЕЙН (известные_значения_y; известные_значения_x); 2)

Точность аппроксимации с помощью прямой, вычисленной функцией ЛИНЕЙН, зависит от степени разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем более точной является модель, используемая функцией ЛИНЕЙН. Функция ЛИНЕЙН использует метод наименьших квадратов для определения наилучшей аппроксимации данных. Когда имеется только одна независимая переменная x, m и b вычисляются по следующим формулам:

где x и y – выборочные средние значения, например x = СРЗНАЧ (известные_значения_x), а y = СРЗНАЧ (известные_значения_y).

Функции аппроксимации ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ могут вычислить прямую или экспоненциальную кривую, наилучшим образом описывающую данные. Однако они не дают ответа на вопрос, какой из двух результатов больше подходит для решения поставленной задачи. Можно также вычислить функцию ТЕНДЕНЦИЯ (известные_значения_y; известные_значения_x) для прямой или функцию РОСТ(известные_значения_y; известные_значения_x) для экспоненциальной кривой. Эти функции, если не задавать аргумент новые_значения_x, возвращают массив вычисленных значений y для фактических значений x в соответствии с прямой или кривой. После этого можно сравнить вычисленные значения с фактическими значениями. Можно также построить диаграммы для визуального сравнения.

Проводя регрессионный анализ, Microsoft Excel вычисляет для каждой точки квадрат разности между прогнозируемым значением y и фактическим значением y. Сумма этих квадратов разностей называется остаточной суммой квадратов (ssresid). Затем Microsoft Excel подсчитывает общую сумму квадратов (sstotal). Если конст = ИСТИНА или значение этого аргумента не указано, общая сумма квадратов будет равна сумме квадратов разностей действительных значений y и средних значений y. При конст = ЛОЖЬ общая сумма квадратов будет равна сумме квадратов действительных значений y (без вычитания среднего значения y из частного значения y). После этого регрессионную сумму квадратов можно вычислить следующим образом: ssreg = sstotal - ssresid. Чем меньше остаточная сумма квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности r2, который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Коэффициент r2 равен ssreg/sstotal.

В некоторых случаях один или более столбцов X (пусть значения Y и X находятся в столбцах) не имеет дополнительного предикативного значения в других столбцах X. Другими словами, удаление одного или более столбцов X может привести к значениям Y, вычисленным с одинаковой точностью. В этом случае избыточные столбцы X будут исключены из модели регрессии. Этот феномен называется «коллинеарностью», поскольку избыточные столбцы X могут быть представлены в виде суммы нескольких неизбыточных столбцов. Функция ЛИНЕЙН проверяет на коллинеарность и удаляет из модели регрессии все избыточные столбцы X, если обнаруживает их. Удаленные столбцы X можно определить в выходных данных ЛИНЕЙН по коэффициенту, равному 0, и по значению se, равному 0. Удаление одного или более столбцов как избыточных изменяет величину df, поскольку она зависит от количества столбцов X, в действительности используемых для предикативных целей. Подробнее о вычислении величины df см. ниже в примере 4. При изменении df вследствие удаления избыточных столбцов значения sey и F также изменяются. Часто использовать коллинеарность не рекомендуется. Однако ее следует применять, если некоторые столбцы X содержат 0 или 1 в качестве индикатора указывающего, входит ли предмет эксперимента в отдельную группу. Если конст = ИСТИНА или значение этого аргумента не указано, функция ЛИНЕЙН вставляет дополнительный столбец X для моделирования точки пересечения. Если имеется столбец со значениями 1 для указания мужчин и 0 — для женщин, а также имеется столбец со значениями 1 для указания женщин и 0 — для мужчин, то последний столбец удаляется, поскольку его значения можно получить из столбца с «индикатором мужского пола».

Вычисление df для случаев, когда столбцы X не удаляются из модели вследствие коллинеарности происходит следующим образом: если существует k столбцов известных_значений_x и значение конст = ИСТИНА или не указано, то df = n – k – 1. Если конст = ЛОЖЬ, то df = n - k. В обоих случаях удаление столбцов X вследствие коллинеарности увеличивает значение df на 1.

Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива.

При вводе массива констант в качестве, например, аргумента известные_значения_x следует использовать точку с запятой для разделения значений в одной строке и двоеточие для разделения строк. Знаки-разделители могут быть различными в зависимости от параметров, заданных в окне «Язык и стандарты» на панели управления.

Следует отметить, что значения y, предсказанные с помощью уравнения регрессии, возможно, не будут правильными, если они располагаются вне интервала значений y, которые использовались для определения уравнения.

Основной алгоритм, используемый в функции ЛИНЕЙН, отличается от основного алгоритма функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Разница между алгоритмами может привести к различным результатам при неопределенных и коллинеарных данных. Например, если точки данных аргумента известные_значения_y равны 0, а точки данных аргумента известные_значения_x равны 1, то:

Функция ЛИНЕЙН возвращает значение, равное 0. Алгоритм функции ЛИНЕЙН используется для возвращения подходящих значений для коллинеарных данных, и в данном случае может быть найден по меньшей мере один ответ.

Функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК возвращают ошибку #ДЕЛ/0!. Алгоритм функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК используется для поиска только одного ответа, а в данном случае их может быть несколько.

Помимо вычисления статистики для других типов регрессии функцию ЛИНЕЙН можно использовать при вычислении диапазонов для других типов регрессии, вводя функции переменных x и y как ряды переменных х и у для ЛИНЕЙН. Например, следующая формула:

=ЛИНЕЙН(значения_y, значения_x^СТОЛБЕЦ($A:$C))

работает при наличии одного столбца значений Y и одного столбца значений Х для вычисления аппроксимации куба (многочлен 3-й степени) следующей формы:

y=m₁x+m₂x²+m₃x³+b

Формула может быть изменена для расчетов других типов регрессии, но в отдельных случаях требуется корректировка выходных значений и других статистических данных.