Использование доказательства с нулевым разглашением конфиденциальной информации можно пояснить на конкретном примере. Предположим, что имеется пещера. Вход в пещеру находится в точке А, а в точке В пещера разветвляется на две половины — С и D. У пещеры есть секрет: только тот, кто знает волшебные слова, может открыть дверь, расположенную между С и D.
Антону волшебные слова известны, Борису — нет. Антон хочет доказать Борису, что знает волшебные слова, но так, чтобы Борис по-прежнему оставался в неведении относительно этих слов. Тогда Антон может воспользоваться следующим протоколом:
1. Борис стоит в точке А.
2. По своему выбору Антон подходит к двери либо со стороны точки С,
либо со стороны точки D.
3. Борис перемещается в точку В.
4. Борис приказывает Антону появиться или через левый проход к двери,
или через правый.
5. Антон подчиняется приказу Бориса, в случае необходимости используя
волшебные слова, чтобы пройти через дверь.
6. Шаги 1—5 повторяются n раз, где n — параметр протокола.
Допустим, что у Бориса есть видеокамера, с помощью которой он фиксирует все исчезновения Антона в недрах пещеры и все его последующие появления. Если Борис покажет записи всех n экспериментов, произведенных им совместно с Антоном, могут ли эти записи послужить доказательством знания Антоном волшебных слов для другого человека (например, для Владимира)?
Вряд ли. Владимир никогда не сможет удостовериться в том, что Антон каждый раз предварительно не сообщал Борису о своих намерениях, чтобы потом Борис приказывал ему выходить именно с той стороны двери, с какой Антон зашел. Или что из сделанной видеозаписи не вырезаны все неудачные эксперименты, в ходе которых Антон не смог выполнить распоряжения Бориса.
Это означает, что Борис не в состоянии убедить Владимира, лично не присутствовавшего при проведении экспериментов в пещере, в том, что Антон действительно подтвердил свое знание секрета. А значит использованный Антоном протокол доказательства характеризуется именно нулевым разглашением конфиденциальной информации. Если Антон не знает волшебные слова, открывающие дверь в пещере, то, наблюдая за Антоном, не сможет ничего узнать и Борис. Если Антону известны волшебные слова, то Борису не поможет даже подробная видеозапись проведенных экспериментов. Во-первых, поскольку при ее просмотре Борис увидит только то, что уже видел живьем. А во-вторых, потому что практически невозможно отличить сфальсифицированную Борисом видеозапись от подлинной.
Протокол доказательства с нулевым разглашением срабатывает в силу того, что не зная волшебных слов, Антон может выходить только с той стороны, с которой зашел. Следовательно лишь в 50% всех случаев Антон сумеет обмануть Бориса, догадавшись, с какой именно стороны тот попросит его выйти. Если количество экспериментов равно n, то Антон успешно пройдет все испытания только в одном случае из 2n. На практике можно ограничиться n=16. Если Антон правильно исполнит приказ Бориса во всех 16-ти случаях, значит он и правда знает секрет волшебных слов.
Пример с пещерой является наглядным, но имеет существенный изъян. Борису значительно проще проследить, как в точке В Антон поворачивает в одну сторону, а потом появляется с противоположной стороны. Протокол доказательства с нулевым разглашением здесь попросту не нужен.
Поэтому предположим, что Антону известны не какие-то там волшебные слова, типа “Сезам, откройся”. Нет, Антон владеет более интересной информацией — он первым сумел найти решение этой труднорешаемой задачи. Чтобы доказать данный факт Борису, Антону совсем не обязательно всем и каждому демонстрировать свое решение. Ему достаточно применить следующий протокол доказательства с нулевым разглашением конфиденциальной информации:
1. Антон использует имеющуюся у него информацию и сгенерированное
случайное число, чтобы свести труднорешаемую задачу к другой труднорешаемой задаче, изоморфной исходной задаче. Затем Антон решает эту новую задачу.
2. Антон задействует протокол предсказания бита для найденного на
шаге 1 решения, чтобы впоследствии, если у Бориса возникнет необходимость ознакомиться с этим решением, Борис мог бы достоверно убедиться, что предъявленное Антоном решение действительно было получено им на шаге 1.
3. Антон показывает новую труднорешаемую задачу Борису,
4. Борис просит Антона или доказать, что две труднорешаемые задачи
(старая и новая) изоморфны, или предоставить решение, которое Антон должен был найти на шаге 1, и доказать, что это действительно решение задачи, к которой Антон свел исходную задачу на том же шаге.
5. Антон выполняет просьбу Бориса.
6. Антон и Борис повторяют шаги 1—6 n раз, где n — параметр
протокола.
Труднорешаемые задачи, способ сведения одной задачи к другой, а также случайные числа должны по возможности выбираться так, чтобы у Бориса не появилось никакой информации относительно решения исходной задачи даже после многократного выполнения шагов протокола.
Не все труднорешаемые задачи могут быть использованы при доказательстве с нулевым разглашением конфиденциальной информации, однако большинство из них вполне пригодны для таких целей. Примерами могут служить отыскание в связном графе цикла Гамильтона (замкнутого пути, проходящего через все вершины графа только один раз) и определение изоморфизма графов (два графа изоморфны, если они отличаются только названиями своих вершин).
