Дано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.
Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S0 – канал свободен; S1 – канал занят. Переход из S0 в S1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S1 в S0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.9).
Рис.9. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.
Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками - ); – интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания ).
Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):
Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):
Очевидны следующие соотношения: и .
N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.
Дано: в системе имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).
Решение. Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):
· S0 – в СМО нет ни одной заявки;
· S1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);
· S2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);
· . . .
· Sn – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).
Граф состояний СМО представлен на рис. 10.
Рис.10. Граф состояний для n – канальной СМО с отказами
Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S0 в состояние S1 систему переводит поток заявок с интенсивностью (как только приходит заявка, система переходит из S0 в S1). Если система находилась в состоянии S1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S2 и т.д.
Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S1 (работает один канал). Он производит обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S1 в состояние S0 нагружена интенсивностью . Пусть теперь система находится в состоянии S2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S1, нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна и т.д.
Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.
Абсолютная пропускная способность:
где n – количество каналов СМО; – вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S0);
Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.11.
Рис.11. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»
Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):
Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S1, когда один канал занят:
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S2, т.е. когда два канала заняты:
Вероятность того, что СМО находится в состоянии Sn, т.е. когда все каналы заняты.
Теперь для n – канальной СМО с отказами
При этом
Относительная пропускная способность:
Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых системой. При этом
;
.
Вероятность отказа:
Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной. Очевидно, что .
Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно):
. Поток обслуживаний имеет интенсивность 
. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
); 
).
и 
.
и т.д.
– вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S0);
;
.