Основы теории

При изучении теории обратить внимание на следующее.

Электромагнитная энергия поля инерционна и потому не может изменяться мгновенно. Как следствие мгновенно не может измениться индуктивный ток (энергия поля катушки индуктивности ) и ёмкостное напряжение (энергия поля конденсатора ). Полагая, что процессы изменения топологии электрической цепи происходят очень быстро, указанные следствия записывают в виде законов коммутации и . Здесь t(0-) означает момент времени до коммутации, t(0+) - момент времени после коммутации, причём t(0+)-t(0-)=0.

Для мгновенных значений напряжений и токов переходного процесса справедливы законы Кирхгофа и соответствующие методы составления системы уравнений цепи.

Если воспользоваться методом исключений переменных в полученной системе уравнений, то исследуемый ток (в конечном итоге) запишется в виде дифференциального уравнения n порядка. Порядок дифференциального уравнения определяется количеством инерционных элементов. Для цепи с одним элементом L или C уравнение тока имеет вид , для цепи с двумя инерционными элементами - , для цепи с тремя инерционными элементов - и т.д.

Общим решением дифференциального уравнения n порядка является сумма из n членов вида , - корни характеристического уравнения от полученного выше дифференциального уравнения. Корни уравнения могут быть мнимыми сопряжёнными, комплексными сопряжёнными и отрицательными действительными. Вот почему кривые изменения напряжения и тока при переходных процессах имеют самую разнообразную форму от простой экспоненты до синусоиды.

Рассмотрим достаточно общий случай последовательной LRC цепи.

Запишем уравнение цепи . Чтобы избавиться от знака интеграла возьмём производную . Для записи характеристического уравнения заменим символы производных на множитель р в соответствующей степени, т.е. . Найдём корни уравнения , , где , а .

Частные случаи.

1. . В этом случае оба корня действительные и отрицательные. Следовательно, значение тока будет иметь вид . Постоянные интегрирования определяются по начальным условиям.

2. . В этом случае оба корня равны друг другу. Следовательно, значение тока будет иметь вид .

3. . В этом случае оба корня являются комплексными сопряжёнными , . Следовательно, значение тока будет иметь вид .

4. . В этом случае оба корня являются мнимыми сопряжёнными , . Следовательно, значение тока будет иметь вид

.

Аналогичным образом рассматривается и анализируется любая иная, например RC, цепь.

Для неё, соответственно, имеем: уравнение цепи- ; производная - ; характеристическое уравнение - ; корень - ; вид искомого уравнения тока - .

Для более сложных цепей приходится записывать и решать системы уравнений. В настоящей работе предлагается также определить колебательный процесс с тремя накопителями энергии. Так как определение корней для уравнений третьего и выше порядков затруднительно, предлагаем воспользоваться готовыми формулами

; , где .