Модель процесса распространения тепла в однородной среде.

Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы (рис 24). Боковая поверхность имеет идеальную изоляцию в тепловом отношении. С отдельного конца тела Х=0 подается количество тепла Q_x₌₀. С другого конца х=L тела тепло равное Q_x₌_L отводится. Основным механизмом распространения тепла является теплопроводность. Получить модель рассматриваемого процесса.

Рис 24.

При построении модели будем исходить из следующих допущений. Тело однородное по своему составу, объект с распределенными параметрами, процесс стационарный, тело имеет идеальную тепловую изоляцию с окружающей средой.

Для получения моделей и для него выделим элементарный объём dV и для него рассмотрим уравнение теплового баланса, которое запишется в следующем виде.

, (5-3)

где - изменение количества тепла в выделенном элементарном объеме,

- количество тепла входящего в выделенный элементарный объем,

- количество тепла выходящего из выделенного элементарного объема.

Запишем уравнение (5-3) через тепловые потоки входящие q_x(x,t) и выходные q_x₊_Dх(x,t) из выделенного элементарного объема. Тогда уравнение (5-3) запишется следующим образом (опуская переменные х и t).

; (5-4)

Или с учетом выражения (5-1) перепишем следующим образом

, (5-5)

где С_Т- теплоемкость тепла,

r- плотность среды.

Левая часть уравнения (5-5) характеризует изменение количества теплоты во времени в выделенном объёме. Правая часть характеризует разность между количеством тепла вошедшим и вышедшим из объёма, то есть изменение количества теплоты в объёме.

Как и с процессами массообмена, которые мы подробно рассмотрели ранее (см раздел 3.1), это уравнение можно переписать в следующем виде.

. (5-6)

Знак «-» так как тепловой поток уменьшается.

С учётом закона Фурье (см 5-1), уравнение (5-6) примет следующий вид

(5-7)

Начальные условия.

Граничные условия.

Таким образом уравнение (5-7) является моделью распространения тепла где основным механизмом является теплопередача.

При рассмотрении переноса тепла за счёт конвективного переноса тепла в уравнение необходимо добавить выражение учитывающее этот механизм. Вид этого выражения будет следующий, основываясь на аналогии с процессами массопереноса (см раздел 3).

, (5-8)

где u- скорость конвективного переноса.

В том случаи, когда в тело поступает поток тепла извне или тепло уходит, например, за счёт нагрева (охлаждения) участка поверхности или за счёт химической реакции, то это количество тепла будет определяется следующим выражением

, (5-9)

где q_вн - поток тепла из вне. Знак «+» при возрастании тепла, «-» при его убывании.

Тогда в общем случае, с учётом всех видов теплопередачи, уравнение будет иметь следующий вид.

(5-10)

или

, (5-11)

где - коэффициент температуропроводимости тепла,

Уравнение необходимо дополнить начальными и граничными условиями.

Начальные условия определяют распределение температуры внутри тела в начальный момент времени

(5-12)

Граничные условия- определяют значения температуры или её производной по x на торцевых границах, которые определяются законами взаимодействия тела с окружающей средой или другими объектами.

. (5-13)

Функции j(х), f₁(t), f₂(t)- являются заданным функциями.

Таким образом модель процесса распространения тепла в однородном теле в общем виде будет иметь следующий вид.

(5-14)

Это уравнение называется уравнением теплопроводности и оно является фундаментальным уравнением во всех процессах, где определяющим фактором являются тепловые процессы.