Математическое значение уравнения Слуцкого

Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого.

Это уравнение позволяет увязать действие эффекта дохода с результирующим изменением спроса.

Основное матричное уравнение:

можно записать следующим образом:

= (9)

Решение этой системы относительно показателей сравнительной статики по спросу имеет вид:

Здесь - обратная матрица Гессе, а - скалярная величина. Можно показать, что поэтому скаляр можно интерпретировать как коэффициент убывания предельной полезности денег.

Сравнивая (11) и (12) замечаем, что

Сопоставляя это уравнение с (10), получаем

(13)

Равенство (13) называется уравнением Слуцкого. Это же уравнение называют основным уравнением теории ценности.

В координатной форме уравнение Слуцкого выглядит так:

(14)

Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены (т. е. компенсированное изменение цены на спрос), второе – действие эффекта дохода (влияние изменения дохода на спрос), выраженное в тех же единицах измерения. Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода.

Перепишем уравнение следующим образом:

(15)

Из (4) следует, что матрица влияния замены симметрична и отрицательно определена. Из отрицательной определенности следует

(16)

Отсюда вывод 1– компенсированное возрастание цены товара приводит к уменьшению спроса на этот товар.

Из симметричности матрицы влияния замены и уравнения (15) получаем:

Поэтому уравнение Слуцкого, в частности, означает, что:

(17)

Здесь производная называется влиянием на спрос (на j – й товар) изменения частной цены (цены j - го товара). Равенство (17) используют для характеристики типов товаров.

Товар вида j называется:

1) нормальным, если ;

2) товаром Гиффина, если ;

3) ценным, если ;

4) малоценным, если .

Два товара i и j являются:

А) взаимозаменяемыми, если ;

Б) взаимодополняемыми, если .

На графике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности!

Как следует из (16) и (17), должно быть:

С учетом условия приходим к следующим выводам:

А) если , то обязательно ;

Б) если , то обязательно .

Отсюда вывод 2, товар Гиффина не может быть ценным, т. е. он обязательно малоценный.

В общем случае каждый товар попадает в одну из следующих категорий.

1. нормальный и ценный ( ; );

2. нормальный и малоценный ( ; )

3. товар Гиффина и малоценный ( ; ).

Выпишем и проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной задачи потребительского выбора с функцией полезности:

Пусть U (x₁,x₂) = x₁ * x₂ → max, тогда

(18)

(19)

, (20)

(21)

(22)

Отсюда

, (23)

и (24)

Итак, в обоих случаях уравнения Слуцкого (при i = j и при ij) здесь выполнены.