Вопросы для конспектирования

Задачи для самостоятельного решения.

Интегрирование с заменой переменной.

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

Волгодонск

Замена переменных и интегрирование по частям определенных интегралов».

2011

Пустьu и v– дифференцируемые функции от х. Тогда .Интегрируя обе части тождества в пределах от а до в, получим:

. (1)

Так как то │ ; поэтому равенство (1) может быть записано в виде: uv│ = , или окончательно │ - .

Например: = = =1

Т е о р е м а .

Пусть дан интеграл , где функция f(x) непрерывна на [a,b].Введем новое переменное формуле x= .

Если 1)

2) и непрерывны на отрезке [t₁,t₂],

3) определена и непрерывна на отрезке [t₁,t₂], то , где , . (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Если F(x) есть первообразная для функции f(x),то можем написать следующие равенства:

(2)

(3)

Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием обеих частей поt. Из равенства (2) получаем:

│ .

Из равенства (3) получаем:

│ .

Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.

Теорема доказана.

Замечание: При замене переменной в определённом интеграле нужно поменять пределы интегрирования, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

Пример: = = = = = .

Вопросы для самоконтроля:

1.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

2.Замена переменной в определенном интеграле.

Вычислить интегралы:

1) ; 1) ; 3) ; 4) .

Решение типовых задач:

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Применим подстановку: , , если , то . Следовательно,

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение: Применим подстановку: , , , если , то .

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение: Положим ,тогда получим:

.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение: Сначала применим подстановку ,

, .

.

Последний интеграл будем интегрировать по частям. Положим

Тогда .

Используя материалы приведенной ниже лекции, а также информацию из законов (сайт consultant.ru), ответьте на вопросы.

1. Из каких прав состоит право собственности владельца информации?

2. Перечислите основные формы нарушения безопасности информации.

3. Дайте определение понятию «угроза» и приведите основные классификации угроз.

4. Дайте определение понятию «компьютерные вирусы». Перечислите основные пути проникновения вирусов в компьютер и признаки их проявления.

5. Приведите классификации компьютерных вирусов.

6. Заполните таблицу

7. Заполните таблицу

8. Рассмотрите ст. 23, 24 и 29 Конституции РФ. Какие права предоставляются гражданам РФ с точки зрения предоставления и защиты информации?

9. Заполните таблицу

10. Используя статьи Уголовного кодекса (УК), Кодекса об административных правонарушениях (КоАП), заполните таблицу.