Методы разработки математических моделей сложных объектов

Математическая модель является не самоцелью, а только средством для решения определенной проблемы. В связи с этим необходимость создания математической модели вытекает из выбираемой исследователем методологии решения проблемы. Для решения сложных проблем моделирования предполагается наличие следующих этапов решения проблемы (которые совпадают с этапами системного подхода, о котором будет сказано ниже):

· изучение предметной области (обследование),

· выявление и формулирование проблемы,

· математическая (формальная) постановка проблемы,

· натурное и/или математическое моделирование исследуемых объектов и процессов,

· статистическая обработка результатов моделирования,

· формулирование альтернативных решений,

· оценка альтернативных решений,

· формулирование выводов и предложений по решению проблемы.

В общем случае процесс исследования можно представить в виде следующей формальной системы:

− функция выходов; (4.16)

− функция переходов;

− функция управления процессом.

Здесь - множество значений входных факторов в момент времени t, - множество значений параметров, характеризующих различные внутренние состояния сложной системы в этот же момент времени, и - множества значений измеряемых показателей изучаемых свойств системы в обозначенные моменты времени. Первые два уравнения моделируют суть изучаемого процесса, а третье уравнение является математическим описанием (моделью) процесса воздействий исследователя на изучаемую систему. Исследователю, как правило, доступно только определенное подмножество наблюдаемых параметров и весьма ограниченное подмножество управляемых факторов. Его представление о внутренних состояниях исследуемой системы также ограничено некоторым подмножеством . Поэтому в представлении исследователя математическая модель исследуемой им системы имеет вид:

; (4.17)

.

В целом формализованная схема процесса исследования сложной системы показана на рис. 4.7.

Разработка математических моделей сложных объектов и технических систем представляет собой трудную исследовательскую проблему.

Решение этой сложной проблемы можно представить следующими этапами:

· концептуальное проектирование,

· эскизное проектирование,

· техническое проектирование,

· рабочее проектирование,

· постановка и проведение модельного эксперимента,

· статистическая обработка результатов моделирования,

· формирование альтернативных решений исследуемой проблемы.

В зависимости от изучаемой предметной области, от решаемой проблемы, от математической подготовки исследователя и требований заказчика математические модели могут иметь различные формы и способы представления.

Цель концептуального проектирования математической модели состоит в определении принципиальных решений по созданию построению и использованию будущей модели в процессе решения проблемы, стоящей перед исследователем.

Для достижения цели должны быть решены задачи

1. определение сути исследуемой системы, которую составляют наименование, состав, структура и целевая функция системы;

2. определение сути каждого элемента системы или ее подсистем;

3. выяснение и описание процесса функционирования системы, как последовательности состояний из множества , возникающих под воздействиемвнешних и внутренних факторов из множества ;

4. определение показателя эффективности функционирования системы, как функции выхода системы ;

5. отбор подмножества наиболее существенных факторов и показателей, характеризующих процесс функционирования системы;

6. определение характера взаимосвязей между входом, состоянием и выходом системы, формализация математической модели процесса в общем виде;

7. постановка задачи на разработку технического, программного и информационного обеспечения моделирования данного процесса на ЭВМ.

Рис. 4.7. Схема обобщенной математической модели