Метод Ньютона

Этот метод еще называют методом касательных. Он позволяет быстрее найти корень (сходится за меньшее количество приближений), чем предыдущий. Метод заключается в следующем.

1. Выбирается интервал [a,b] значений аргумента Х, на котором ищется корень. На этом интервале функция должна менять знак.

2. Начальное значение корня X₀ принимается равным левой (a) или правой (b) границе интервала.

3. Вычисляется очередное приближение по формуле

Х_след= Х_пред– f(Х_пред)/f '(Х_пред)

4. Если |Х_след- Х_пред| <= E, то Х_след– корень, в противном случае

присвоить значение Х_следпеременной Х_преди перейти к п. 3.

В отличие от метода деления отрезка пополам рассмотренный алгоритм позволяет определить корень не для любой функции, а если:

1) f(x) дифференцируема;

2) f '(x) ≠ 0 в Е-окрестности корня.

Неудачный выбор Х₀ может привести к тому, что приближения "расходятся" от точки корня.

Рассмотрим пример программы нахождения корня уравнения методом Ньютона. Будем, как и в п. 19.2.1 считать, что в программе будет использована функция f(x) и ее производная Prf(x).

Обозначим:

Хo => x0; E => E; Х_пред => x; Х_след => xn

Программа будет иметь вид

Program Newton;

Var

y, x0, X, xn, E : Real;

Function f(x: Real): Real;

Begin

f:= { здесь должна быть формула для вычисления функции}

End;

Function Prf(x: Real): Real;

Begin

Prf:= { здесь будет формула для вычисления производной}

End;

Begin

Writeln('Введите начальное приближение корня и погрешность');

Readln(a, E);

x := a;

{ вычисление корня }

Repeat

xn := x-f(x)/Prf(x);

y := Abs(xn-x);

x := xn;

Until y <= E;

Writeln('Корень = ',xn:8:4,' разность = ',y:8:6);

Y:=f(x);

Writeln('Функция = ', y:10:7);

Writeln('Работа окончена');

Readln;

End.

Можно определить количество приближений (итераций), оно равно числу повторений цикла.