Приближенное вычисление функций

Пример 1. Вычислить значение функции SinX по приближенной формуле

F = SinX = X - X³/3! + X⁵/5! - ...+(–1)^2n-1X^2n-1/(2n-1)!, n=1, 2, 3 ...

с погрешностью E=10^-5.

Функция F здесь представляет собой сумму членов степенного ряда:

F = U₁ + U₂ + ... + U_n

Условие окончания вычисления функции:

|F - F_след|< E

Заметим, что |F-F_след| = |U_след| – очередное слагаемое. Можно сказать, что вычисления прекращают, как только получают член ряда, меньший, чем заданная абсолютная погрешность.

Обратите внимание, что вычислять слагаемые ряда непосрественно по формуле (находить степень и факториал, делить их) крайне нерационально. В этих случаях целесообразно выражать последующий член через предыдущий. Покажем, как это делается.

Пусть речь идет о слагаемом с номером n. Тогда на основании общей формулы для члена ряда это слагаемое (предыдущее) без учета знака запишется так:

.

Номер следующего слагаемого будет n+1, тогда само слагаемое запишется так:

.

Разделив последнее выражение на предыдущее, получим выражение для вычисления следующего члена ряда по известному предыдущему

.

Обратите внимание, что в этой формуле n означает номер предыдущего члена. Если считать, что n имеет начальное значение 1 и изменяется с шагом 2, то знаменатель U_следможет быть вычислен как произведение вида:

(n + 1) (n+2).

Заметим еще, что при программировании подобных задач часто вводят одну переменную для представления как предыдущего слагаемого, так и последующего.

Вначале: n=1; U=X; F=0 {U – играет роль предыдущего и следующего члена}