Задача: Заданы координаты концов двух отрезков, определить взаимное расположение этих отрезков (определить лежат они параллельных, совпадающих или пересекающихся прямых, в случае совпадения прямых определить имеют отрезки общую точку, общую часть или не имеют общих точек, в случае пересечения прямых определить имеют отрезки общую точку или нет).
Приближенные методы вычислений.
Задача 1. Вычислить приближенное значение суммы
1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + …
Считаем, что нужное приближение получено, если вычислена сумма нескольких слагаемых, и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше, чем данное малое положительное число e.
Для решения задачи мы должны выполнить следующие действия:
2) получить очередное слагаемое (назовем его а);
3) сравнить абсолютную величину слагаемого а с e и, в зависимости от результата сравнения, либо продолжить, либо прекратить вычисления.
Program p;
var a: real;
x : real;
e : real;
i : integer;
S : integer;
begin
readln(x, e);
i:=1;
a:=1;
S:=0;
WHILE a>e DO
begin
S:=S+a; i:=i+1; a:=a*x/i;
end;
writeln(‘приближенное значение суммы=’,S:4:2)
end.
Задача 2. Рассмотрим часто встречающуюся задачу приближенного решения уравнения f(x)=0, где f(x) – заданная функция. Решить уравнение – значит найти такое значение х*, при котором f(x*)=0. Поиск решения осуществляется на интервале [a;b], причем f(a)<0, а f(b)>0. Используем метод деления пополам. Находим точку с=(а+b)/2 – середина отрезка. Если f(c)>0, то границу b изменяем на значение с, а если f(с)<0, то изменяем а. Процесс продолжаем, пока длина интервала не будет меньше заданной точности.
Y
f(x)
0 a c b X
Пусть f(x)=x2-2, т.е. мы попытаемся найти значение квадратного корня из 2.
Program popolam;
const eps=1.0E-3;
var a,b,c:real;
Function eg(x,y:real):boolean;
begin
Eg:=Abs(x-y)<eps
end;
Function F(x:real):real;
begin
F:=Sgr(x)-2
end;
BEGIN
Writeln(‘введите интервал’); readln(a,b);
if F(a)*F(b)>0 then writeln(‘на этом интервале мы не можем
найти решение уравнения’)
else begin
while Not Eg(a,b) do
begin c:=(a+b)/2;
if F(c)>0 then b:=c else a:=c
end;
writeln(‘Результат ’,a)
end;
readln
end.
Можно с помощью этой программы решить уравнения :
x2-6x+5=0 x-cosx=0 x-lnx-2=0 2x3-9x2-60x+1=0
Метод итераций
Пусть нужно решить уравнение f(х)=0, из которого мы получаем уравнение следующего вида: х=u(х), для решения этого уравнения методом итераций необхдимо составить последовательность приближений, причем надо учитывать что далеко не каждая последовательность приведет нас к нахождению корня, необходимым и достаточным условием для использования метода итераций является u’(x)<1. Итак, для нахождения последовательности выбираем произвольно х0, вплоть до случайного числа, вычисляем х1=U(х0), х2=U(х1) х3=U(х2) и т.д. опка не будет выполнено неравенство |хi-xi+1|<e.
Y
0 a x1 x2…..... xn-2 xn X
Задача 3. Пусть непрерывная положительная на отрезке [a,b] (a<b) функция. Вычислим площадь фигуры, ограниченную графиком функции f(x), осью х и прямыми х=а и х=b. Для этого разобьем отрезок [a,b] на n равных отрезков одинаковой длины Dx=(b-a)/n a=x0<x1<…<xi<xi+1<….<xn=b
На каждом из отрезков [xi,xi+1] как на основании, построим прямоугольник с высотой f(xi).
Площадь прямоугольников мы умеем находить. Сумма площадей всех прямоугольников даст приближенное значение площади фигуры:
Sприб=(b-a)/n*(f(x0)+….f(xn-1))
Естественно, что чем мельче будет разбиение, тем точнее мы подсчитаем площадь фигуры.
Для отладки программы возьмем функцию f(x2) на отрезке [1,2]. Площадь фигуры равна 2,333….
program trapez;
const eps=1.0E-3;
var a,b,s,dx :real;
i,n : integer;
Function eg(x,y:real):boolean;
begin
Eg:=Abs(x-y)<eps
end;
Function F(x:real):real;
begin
F:=Sgr(x)
end;
BEGIN
Writeln(‘введите интервал и число частей для разбивки’); readln(a,b,n);
x:=a; dx:=(b-a)/n; s:=0;
For i:=1 to n-1 do
begin
s:=s+F(x);
x:=x+dx;
end;
writeln(‘Результат = ’,(b-a)/n*s);
readln;
end.
Вычислить площадь криволинейных трапеций для следующих функций: f(x)=1/(1+x) [0,1] f(x)=1/x [1,3]
f(x)=sinx [0,p/2]
Для вычисления длины дуги воспользуемся тем же разбиением на прямоугольники, с тем лишь отличием что будем брать сумму длин гипотенуз прямоугольных треугольников… до тех пор пока разница между предыдущим и текущим значением не будет меньше заданной точности.
Задача 4. Для вычисления элементарных функций в математике широко распространено представление этих функций в виде некоторых бесконечных сумм. Не вдаваясь в обоснование таких представлений, приведем некоторые их них :
В каждом из разложений точность представления функции будет, вообще говоря, тем выше, чем больше взято слагаемых в сумме. Причем значения самих слагаемых с ростом n стремятся к нулю. Для вычисления значений функции с некоторой заданной точностью e поступают следующим образом. Вычисляют и суммируют слагаемые до тех тор, пока очередное слагаемое не станет по абсолютной величине меньше e или абсолютное значение разности между соседними слагаемыми не станет меньше e. Полученную сумму и принимают за приближенное значение функции.
Вычисли функцию sinx.
Program rad;
const eps=1.0E-3;
var x,sn,ss : real;
p, n : integer;
{p – используется для чередования знака слагаемого}
Function Eg(x,y;real):boolean;
begin
Eg:=Abs(x-y)<eps
end;
Function F(n:integer;var x:real):real;
var i:integer;
s:longint;
begin
s:=1;
for i:=2 to n do s:=s*i;
x:=x*sqr(x); F:=x/s
end;
BEGIN
writeln(‘Введите значение х’);
readln(x);
ss:=0; sn:=x; n:=1; p:=1;
Repeat
ss:=sn; {предыдущее значение слагаемого}
{ новое значение слагаемого}
n:=n+2; p:=-1*p; sn:=ss+p*F(n,x)
Until Eq(ss,sn) or (n>=12);
Writeln(‘Результат=’,sn); readln
end.
Задача 5. Метод Монте-Карло для приближенного вычисления площади.
Пусть есть какая-нибудь фигура на плоскости, расположенная внутри стандартного квадрата со сторонами параллельными координатным осям.
Пусть про любую точку квадрата мы можем быстро узнать, попадает ли эта точка внутрь фигуры или нет.
Для выбора точек используют случайные числа Random(x)
Если вызвать функцию много раз подряд, то множество полученных чисел будет равномерно распределено по отрезку [0,a]
Program ss;
var n: integer; {количество точек}
a : integer; {длина стороны квадрата}
m, i : integer;
x,y : real;
begin
writeln(‘введите кол-во точек и сторону квадрата’);
readln(n,a);
m:=0;
for i:=1 to n do
begin
x:=Rondom(a); y:=Random(a);
if точка(x,y) внутри квадрата then m:=m+1
end;
S:=(m/n)*a*a
writeln(‘Результат ’,s);
end.
Множества.
Множество в Паскале представляет собой набор различных элементов одного (базового) типа.
Базовый тип – это совокупность всех возможных элементов множества. Всего в базовом типе должно быть не более 256 различных элементов. Значение переменной множественного типа может содержать любое количество различных элементов базового типа – от нуля элементов (пустое множество) до всех возможных значений базового типа
Множества, используемые в программе, могут быть описаны либо в разделе Type:
Type <имя типа> = Set Of <тип элементов>;
Var <имя множества> : <имя типа>;
Либо непосредственно в разделе описания переменных Var:
Var <имя множества> : Set Of <тип элементов>;
Пример.
Type mnog_Char=Set Of Char;
Var mn1 : Set Of Char;
mn2 : mnog_Char;
mn3 : Set Of ‘A’..’Z’;
s1 : Set Of Byte;
s2 : Set Of 1000..1200;
Здесь mn1 и mn2 – это множества символов; так как различных символов всего 256, то тип Char можно использовать в качестве базового;
mn3 – множество больших латинских букв;
s1 – множество целых чисел (от 0 до 255); так как тип Byte содержит только целые числа от 0 до 255, его тоже можно использовать в качестве базового типа элементов;
s2 – множество целых чисел от 1000 до 1200.
Формирование (конструирование) множеств. В программе элементы множества задаются в квадратных скобках, через запятую. Если элементы идут подряд друг за другом, то можно использовать диапазон.
Пример Type digit = Set Of 1..5;
Var s : digit;
Переменная s может принимать значения, состоящие из любой совокупности целых чисел от 1 до 5;
[1,2,3,4,5] – полное множество (взяты все элементы базового типа).
Операции над множествами
Объединение двух данных множеств называется множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Знак операции объединения множеств - «+».
3) если S1:=[1..5, 9] и S2:=[3..7, 12], a S:=S1 * S2, то S=[3..5].
Разностью двух множеств называется множество, состоящее из тех элементов первого множества, которые не являются элементами второго. Знак операций вычитания множеств - «¾»
A B A-B
Примеры.
[‘A’, ‘F’] – [‘B’, ‘D’] = [‘A’, ’F’ ] , так как общих элементов нет;
если S1:=[1..5, 9] и S2:=[3..7, 12], a S:=S1 – S2, то S=[1, 2, 9];
A1:=[‘A’..’Z’]; A1:=A1 – [‘A’]. Тогда А1=[‘B’..’Z’].
Операция определения принадлежности
элемента множеству
Эта логическая операция обозначается служебным словом in. Результат операции имеет значение true, если элемент входит в множество, и false в противном случае.
Примеры.
4. Выражение 5 in [3..7] имеет значение true, так как 5 Î [3;7]
Выражение ‘a’ in [‘A’..’Z’] имеет значение false, так как маленькой латинской буквы «а» нет среди больших латинских букв.
Сравнение множеств
Для сравнения множеств используются операции отношения:
= - проверка на равенство (совпадение) двух множеств;
<> - проверка на неравенство двух множеств;
<=, < - проверка на вхождение первого множества во второе множество;
>=, > - проверка на вхождение второго множества в первое множество.
Y
f(x)
0 a c b X
Y
0 a x1 x2…..... xn-2 xn X
А B A*B
