Система счисления это способ наименования и записи чисел. Все они делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.
В непозиционной системе счисления каждый знак, употребляемый для записи чисел, всегда обозначает одно и то же число. Цифра – это знак, используемый для изображения числа.
Примером непозиционной системы счисления может служить римская. В ней были определены следующие обозначения чисел: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.
Тогда число 378 в римской нумерологии будет выглядеть так: CCCLXXVII.
Славянская система счисления тоже являлась непозиционной, в ней использовались буквы алфавита, над которыми ставился специальный значок ~ - называемый титло.
Запись чисел в этих системах очень громоздко и не удобно, так как требует использования большого числа знаков, требуемых для записи какого - либо числа. Чтобы несколько уменьшить количество используемых знаков для записи чисел, в римской системе было введено следующее правило: Если поместить букву обозначающую меньшее число, слева от буквы обозначающей большее, то меньшее следует из большего вычитать. IV – 4, IX – 9, XL – 40, XC – 90.
С помощью всех введенных знаков тысячу изобразить легко, но трудно изобразить сто тысяч.
Ясно, что сколько не вводить новых знаков, всегда можно придумать число, которое трудно изобразить уже введенными знаками. Такое затруднение характерно для любой непозиционной системы счисления. Также очень сложны и неудобны в этих системах счисления арифметические действия.
CCCLIX+CLXXIV=DXXXIII. Еще труднее производить умножение. Поэтому должно быть понятно, почему были вытеснены такие системы счисления из обихода позиционными. Хотя надо отметить, что именно римская система используется до сих пор, только в тех случаях, где нет необходимости производить с числами какие – либо действия. Например, при обозначении столетий, глав в книгах, часов на циферблатах.
Общепринятой позиционной системой счисления является десятичная, берущая свое начало от счета на пальцах. Она была изобретена в Индии, затем заимствована там арабами и уже через арабские страны пришла в Европу. Значение каждой цифры в позиционной системе счисления определяется не только ею самой, но так же и местом (позицией), которое она занимает в записи числа. Для позиционной системы счисления так же характерно то, что число разбивается на разряды, которые считаются справа налево и каждая цифра в записи числа означает определенное количество единиц именно того разряда в котором эта цифра стоит (568 – 5 сотен, 6 десятков, 8 единиц). Единица каждого следующего разряда всегда в определенное количество раз превосходить единицу предыдущего. Это отношение называют основанием системы счисления.
Числа, которыми мы привыкли пользоваться называются десятичными и арифметика, которой мы пользуемся, также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов - цифр - "0123456789". Но десятичная арифметика не единственная. Если мы возьмём только пять цифр, то на их основе можно построить пятеричную арифметику, из семи цифр - семеричную. В областях знаний связанных с компьютерной техникой часто используют арифметику, в которой числа составляются из шестнадцати цифр, соответственно эта арифметика называется шестнадцатеричной. Чтобы понять, что такое число в не десятичной арифметике сначала выясним, что такое число в десятичной арифметике.
Возьмём, к примеру, число 246. Эта запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:
246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100
Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Наиболее интересна нам сейчас третья форма записи: 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100 . Она устроена следующим образом:
В нашем числе три цифры. Старшая цифра "2" имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра "4" имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры. Уяснив сказанное, мы можем записать общую формулу представления десятичного числа. Пусть дано число, в котором N цифр. Будем обозначать i-ю цифру через ai. Тогда число можно записать в следующем виде: anan-1….a2a1. Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так:
В этой записи очень хорошо видна роль десятки. Десятка является основой образования числа. И кстати она так и называется "основание системы счисления", а сама система счисления, поэтому так и называется "десятичной". Конечно, никакими особыми свойствами число десять не обладает. Мы вполне можем заменить десять на любое другое число. Например, число в пятеричной системе счисления можно записать так:
В общем, заменяем 10 на любое другое число и получаем совершенно другую систему счисления и другую арифметику. Наиболее простая арифметика получается, если 10 заменить на 2. Полученная система счисления называется двоичной и число в ней определяется следующим образом:
Эта система самая простая из всех возможных, так как в ней любое число образуется только из двух цифр 0 и 1. Понятно, что проще уже некуда. Примеры двоичных чисел: 10, 111, 101.
Очень важный вопрос. Можно ли, например двоичное число (или число из какой-нибудь другой системы счисления) представить в виде десятичного числа и наоборот, можно ли десятичное число представить в виде двоичного (или числа из какой-нибудь другой системы счисления).
Двоичное в десятичное. Это очень просто. Метод такого перевода даёт наш способ записи чисел. Возьмём, к примеру, следующее двоичное число 1011. Разложим его по степеням двойки. Получим следующее:
1001 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20
Выполним все записанные действия и получим:
1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0+ 0 + 1 = 9. Таким образом, получаем, что 1011(двоичное) = 9 (десятичное). Сразу видно и небольшое неудобство двоичной системы. То же самое число, которое, в десятичной системе записано одним знаком в двоичной системе, для своей записи требует четыре знака. Но это плата за простоту (бесплатно ничего не бывает). Но выигрыш двоичная система даёт огромный в арифметических действиях. И далее мы это увидим.
В свое время в Древнем Вавилоне использовалась шестидесятеричная система счисления, ее отголоски находят у нас применение в переводе часов в минуты, минут в градусы и т.д.
При использовании системы счисления выше десятичной в обиход идут буквы, то есть, например, для шестнадцатеричной системы счисления будут использованы следующие цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f.
Представьте в виде десятичного числа следующие числа.
